Question

已知关于x的一元二次方程(x-k)²-2x+2k=0有两个实数根x1、x2 (1)求实数的取值

已知关于x的一元二次方程(x-k)²-2x+2k=0有两个实数根x1、x2
(1)求实数的取值范围.(2)当实数为和值时，代数式x1的平方+x2的平方-x1*x2+1取得最小值.并求出该最小值
有什么不清楚的问我啊大家

Answer 1

解：
整理方程，得：x²-2(k+1)x+k²+2k=0
(1)
方程有两实根，判别式△≥0
[-2(k+1)]²-4(k²+2k)≥0
1≥0
不等式恒成立，k可取任意实数
k的取值范围为R
(2)
由韦达定理得：
x₁+x₂=2(k+1)，x₁x₂=k²+2k
x₁²+x₂²-x₁x₂+1
=x₁²+x₂²+2x₁x₂-3x₁x₂+1
=(x₁+x₂)²-3x₁x₂+1
=[2(k+1)]²-3(k²+2k)+1
=k²+2k+5
=k²+2k+1+4
=(k+1)²+4
平方项恒非负，(k+1)²≥0，(k+1)²+4≥4，此时k=-1
当k=-1时，代数式x₁²+x₂²-x₁x₂+1取得最小值，最小值为4。