Question

高数求拐点

Answer 1

(1)

（令x=0得φ(0)=1）

等式两边同时对x求导得

φ'(x)=1+xφ(x)-xφ(x)+∫φ(t)dt （积分范围x→0）

（令x=0得φ'(0)=1）

上式两边同时再次对x求导 

φ''(x)=-φ(x)

也就是

φ''(x)+φ(x)=0

这是一个二阶常系数齐次线性微分方程

先求特征根，其特征方程为r²+1=0

特征根r=±i

根据通解公式

φ(x)=a*cosx+b*sinx

其中a,b为常数

因为φ(0)=φ'(0)=1

所以a=b=1

故φ(x)=cosx+sinx

(2)

根据上一问，我们有

φ''(x)=-φ(x)=-cosx-sinx=-√2*sin(x+π/4)

令φ''(x)=0得 x=-π/4+kπ，k∈Z

所以

φ(x)的拐点为(-π/4+kπ,0)，其中k∈Z

Answer 2

详见下图，希望对你有帮助。