Question

请教关于圆锥曲线的题目

已知抛物线y2=4x，直线L交抛物线于A（x1,y1),B(x2,y2)两不同点，若L‘是过点M(2,3/2)且垂直于x轴的一条直线是否存在L,使得AB被L'平分,若存在，求出L的斜率的；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：【①】易知，直线L’的方程为x=2.
【②】∵弦AB的两个端点A，B均在抛物线y²=4x上。
∴可设坐标A(a²,2a)，B(b²,2b).
易知，此时a≠b,否则点A和B重合。
同时，a+b≠0.否则，两点关于x轴对称，此时直线L的斜率不存在。
a≠b,且a+b≠0. ∴由斜率公式可知，直线L的斜率k=2/(a+b).
【③】由“中点坐标公式”可知，弦AB的中点P的横纵坐标分别为(a²+b²)/2, (a+b).
【④】由题设“弦AB被直线L′平分”可知，弦AB的中点P必在直线L′：x=2上。
∴a²+b²=4.且同时有-2√2＜a+b＜2√2.即0＜|a+b|＜2√2.
再由基本不等式√[2(a²+b²)]≥|a+b|.及a²≠b²可知，|a+b|＜2√2.
∴应该有0＜|a+b|＜2√2. ∴1/|a+b|＞(√2)/4.
∴2/|a+b|＞(√2)/2.
【⑤】由k=2/(a+b)及2/|a+b|＞(√2)/2.可知，|k|＞√2/2.
∴k∈(-∞,- √2/2) ∪(√2/2,+ ∞)
即直线L的斜率k的取值范围是(-∞,- √2/2) ∪(√2/2,+ ∞).

Answer 2

假设中点为C，利用这四个条件求x1,x2,y1,y2:
y1^2=4*x1 ;
y2^2=4*x2 ;
x1+x2=2*2 ;
y1+y2=2*yc
（ 其中yc=(y2-y1)/(x2-x1)*(2-x1)+y1 ;）

最后好像是斜率不存在，即L'与L重合，你自己再算算看？