Question

设f(x),g(x)均为定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,当x>0时,f `(x)g(x)+f (x)g`(x)>0,且f(1)=0，则不等式f

设f(x),g(x)均为定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,当x>0时,f `(x)g(x)+f (x)g`(x)>0,且f(1)=0，则不等式f (x)g(x)>0的解集为....
A(-∞,-1)∪(1,+∞) B(-1,0)∪(1,+∞) C(-∞,1)∪(0,1) D(-1,0)∪(0,1)

Answer 1

令h(x)=f(x)g(x)，根据题意，但x>0时
h`(x)=(f(x)g(x))`=f`(x)g(x)+f (x)g`(x)>0
所以x>0的时候h(x)单调增
又f(x),g(x)均为奇函数，
f(-x)=-f(x)
g(-x)=-g(x)
h(-x)=f(-x)g(-x)=(-f(x))(-g(x))=f(x)g(x)
所以h(x)=f(x)g(x)为偶函数

又f(1)=0,因此f(1)g(1)=0,
又x>0时h(x)递增，所以x>1时，h(x)>0,
又从上述讨论结果知h(x)是偶函数，所以x<-1时h(x)>0

综上当x>1 或 x<-1 时h(x)>0,即f(x)g(x)>0的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞)
故选A

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