Question

如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB=2AD,且点P在线段CC1上

第（1）我证出来的，结论是BD⊥AP
第（2）题：若CC1=3PC1,求二面角P-AB1-B的余弦值

图发不上来，画得出来的……谢谢大家了

Answer 1

1、因为BD⊥平面ACC1A1，AP又是平面ACC1A1内一直线

   所以BD⊥AP

2、为了便于书写，不妨设AA1=6  AB=3 ，则PC1=2  ，PC=4

     在DC上取一点M，使得DC=3DM，连结MP。可知AB1‖DC1‖MP，   平面AB1P即平面AB1M。

   过点M作AB1的垂线交AB1于E，在平面ABB1内过E作AB1的垂线交AB于F。   即有：ME⊥AB1，FE⊥AB1 。联结MF，∠MEF即我们所要求解的二面角。

   AM=√(AD²+DM²)=√(3²+1²)=√10

     AB1=√(AB²+BB1²) =√(3²+6²) =√45=3√5

     MB1=√(MC²+CC1²+B1C1²) =√(2²+6²+3²) =√49 =7

在△AMB1中，利用余弦定理

  cos∠MAB1=(AM²+AB1²-MB1²) / (2AM*AB1)=√2 /10    则sin∠MAB1=7√2 /10    

求得AE=AM*cos∠MAB1=√5 /5

       ME=AM*sin∠MAB1=7√5 /5

在Rt△AEF中，EF=AE*tg∠BAB1=AE*(BB1/AB)=2AE=2√5 /5

                        AF=√(AE²+EF²) = 1      可见AB=3AF，AD‖FM

FM⊥平面ABB1A1，所以FM⊥EF，△EFM为直角三角形。

cos∠FEM =EF/ME =(2√5 /5) / (7√5 /5) =2/7