Question

高中数学～～！！！！

例3：(2004江苏南京模拟题)（本小题满分12分）
如图，四棱锥P—ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD.底面ABCD为直角梯形，
AD‖BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3.点E在棱PA上，且PE=2EA.
（Ⅰ）求异面直线PA与CD所成的角；
（Ⅱ）求证：PC‖平面EBD；
（Ⅲ）求二面角A—BE—D的大小（用反三角函数表示）.

Answer 1

PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，可以得出CD⊥BD，
底面ABCD为直角梯形，AD‖BC，AB⊥BC，AB=AD，很容易得出△CDB和△BAD都是直角三角形，故得：BC=6，
点E在棱PA上，且PE=2EA.可知E在三等分点上，
我们以B为原点，以BC、AB、PB分别为X轴、Y轴、Z轴，则
A( 0,3,0 )， B( 0,0,0 )，C（6,0,0），D( 3,3,0 )，P(0,0,3 )
易得E(0,2,1) ，（其z轴是P的1/3，y轴是BA的2/3），

（Ⅰ）过A做AF‖CD交BC于F，故异面直线PA与CD所成的角就是∠PAF，
不难证明AF=PF=PA=3√2，PAF是等边三角形，
故∠PAF=60°，
异面直线PA与CD所成的角是60°。

（Ⅱ）直线PC方程为x+2z=6，y=0，
设平面EBD方程为ax+by+cz+d=0，
代入B、D、E坐标可得d=0，a=b，c=2b，则有
bx+by+2bz=0，即x+y+2z=0，
当y固定时，即一条关于xoz平面的斜率与直线PC斜率相同的直线，
故PC‖平面EBD；
【也可以把直线PC方程代入平面方程，看是否有解，有解则相交，无解则平行，将x+2z=6代入得y= -6，而直线为y=0，显然无解,】

（Ⅲ）BE方程为y=2z，x=0，
因为DA⊥yoz平面，设BE所在直线上一点G（0，2z，z），
则∠DAG的正切值是DA／AG=3²／√[（0-0）²+（2z-3）²+（z-0)²]=9／√（5z²-12z+9），
当tg∠DAG值最大时的角就是二面角，
DA是固定的，当AG最小时（此时AG⊥BE）即分子最小时值最大，得tg∠DAGmax=3√5，
故二面角A—BE—D的大小为arctg3√5。

Answer 2

建系...

Answer 3

建立直角坐标系，B为原点，PB为Z轴，BC,AB分别为X轴，Y轴
A( 0,3,0 ), B( 0,0,0 ), D( 3,3,0 ), P(0,0,3 )
易得E(0,2,1)