Question

已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为2，侧棱BB1与底面ABC所成的角为π/3,且侧面ABB1A1垂直于底面ABC

1.求证：点B1在平面ABC上的射影为AB的中点
2.求二面角C-AB1-B的大小
3.判断B1C与C1A是否垂直，并证明你的结论

Answer 1

18、（1）如图2－4在平面BA1内，过B1作B1D⊥AB于D，∵侧面BA1⊥平面ABC，∴B1D⊥平面ABC，∠B1BA是BB1与平面ABC所成的角，∴∠B1BA=600，又∵ABB1A1是菱形，∴△ABB1为正三角形，∴D是AB的中点，即B1在平面ABC上的射影为AB的中点。

  （2）连结CD，∵△ABC为正三角形，∴CD⊥AB，       

又∵平面A1B⊥平面ABC，平面A1B∩平面ABC=AB，

∴CD⊥平面A1B，在平面A1B内，过D作DE⊥AB1

于E，    

连结CE，则CE⊥AB，∴∠CED为二面角C－AB1－B

的平面角。

在Rt△CED中 ，CD=2sin600= ，连结BA1于O，则

BO= ，DE= BO= ，∴tan∠CED= =2，∴所求的二面角C－AB1－B的大小为arctan2                                 

(3)答 ：B1C⊥C1A，连结BC1，∵BB1CC1是菱形，∴BC1⊥B1CD⊥平面A1B，B1D⊥AB，∴B1C⊥AB，∴B1C⊥平面ABC1，∴B1C⊥C1A

Answer 2

过B1作B1D⊥AB于D，∵侧面BA1⊥平面ABC，∴B1D⊥平面ABC，∠B1BA是BB1与平面ABC所成的角，∴∠B1BA=600，又∵ABB1A1是菱形，∴△ABB1为正三角形，∴D是AB的中点，即B1在平面ABC上的射影为AB的中点。
（2）连结CD，∵△ABC为正三角形，∴CD⊥AB，
又∵平面A1B⊥平面ABC，平面A1B∩平面ABC=AB，
∴CD⊥平面A1B，在平面A1B内，过D作DE⊥AB1
于E，
连结CE，则CE⊥AB，∴∠CED为二面角C－AB1－B
的平面角。
在Rt△CED中 ，CD=2sin600= ，连结BA1于O，则
BO= ，DE= BO= ，∴tan∠CED= =2，∴所求的二面角C－AB1－B的大小为arctan2
(3)答 ：B1C⊥C1A，连结BC1，∵BB1CC1是菱形，∴BC1⊥B1CD⊥平面A1B，B1D⊥AB，∴B1C⊥AB，∴B1C⊥平面ABC1，∴B1C⊥C1A

Answer 3

同求