Question

若关于X的不等式X²-8X+20/mx²+2（m+1）+9m+4 ＜0 的解集是实数R，求实数m的取值范围

Answer 1

x^2 -8x+20=(x-4)^2+4>0
所以分母mx^2+2(m+1)x+9m+4<0恒成立
所以抛物线开口向下且△<0
m<0,
4(m+1)^2-4m(9m+4)<0
m^2+2m+1-9m^2-4m<0
8m^2+2m-1>0
(4m-1)(2m+1)>0
m>1/4和m<-1/2
m<0

所以m<-1/2

Answer 2

(x^2-8x+20)/[mx^2+2（m+1）+9m+4]＜0
分子x^2-8x+20=（x-4)^2+4≥4，恒大于0
∴分母mx^2+2（m+1）+9m+4必须恒小于0
g(x)=mx^2+2（m+1）+9m+4必须开口向下并与x轴无交点
m＜0，且判别式=4(m+1)^2-4m(9m+4)＜0
8m^2+2m-1＞0
(2m+1)(4m-1)＞0
m＜-1/2或m＞1/4
m＜0
∴m＜-1/2