Question

方程x3-x-1=0在长度为1的区间（a,b）（a∈z.,b∈z)上有一根，则a+b=?

Answer 1

设F（x）=x^3-x-1,则F‘（x）=3*x^2-1 ,F‘'（x）=6x
令F‘（x）=0，得x=±(根号3)/3 ；
当x=(根号3)/3时，F‘'（(根号3)/3）>0，此时F（x）有极小值=-2(根号3)/9 -1 <0;
当x=-(根号3)/3时，F‘'（-(根号3)/3）<0，此时F（x）有极大值=2(根号3)/9 -1 <0；
所以F（x）在（-∞，-(根号3)/3】上单调增，有最大值F（-(根号3)/3），
在【-(根号3)/3，(根号3)/3】上为单调减，有最大值F（-(根号3)/3），最小值F（(根号3)/3），
在【(根号3)/3，+∞）上为单调增，有最小值F（(根号3)/3）
根据上述点画出F（x）的草图，（图略），可以知道
当x<(根号3)/3时，F（x）<0,
当x>=(根号3)/3时，F（x）为单调增，且F（(根号3)/3）<0
所以x3-x-1=0在实数范围内有唯一根，且x>(根号3)/3.
又F（1）=-1，F（2）=5，所以方程的根在（1,2）上
则a=1，b=2,
a+b=3