Question

对于定义域为d的函数y=f（x），若同时满足下列条件

1.f（x）在d内单调递增或单调递减 2.存在区间【a，b】上的值域为【a，b】，把f（x）叫闭函数。1.求闭函数y=-x的三方符合条件2的区间 2.判断f（x）=3/4x+1/x（x大于0）是否为闭函数，说明理由 3.判断函数y=k+根号下x+2是否为闭函数，若是。求出k的取值范围

Answer 1

(1)y=-x是减函数，[-1,1]，[-2，2]，[-3,3]
(2)f（x）=3/4x+1/x
化为f(x) =7/4x（x大于0）是减函数若是闭函数则有
f（a）＝7/4a=b——4ab=7
f（b）=7/4b=a——4ab=7
也就是只要满足4ab=7就行，比如[1,7/4]
所以f（x）=3/4x+1/x（x大于0）是闭函数
(3)y=k+√（x+2）在x>=-2时，是增函数
必须满足a=k+√（a+2）
b=k+√（b+2）（-2<a<b)时是闭函数
即x=k+√（x+2）得有两个解a,b;(x>=-2,所以k<=x)
x^2+k^2-2kx-x-2=0
x^2-(2k+1)x+k^2-2=0
有两个不等的根，"b^2-4ac>0"
4k^2+4k+1-4k^2+8>0
k>-9/4
x=（2k+1-√4k+9）/2>=-2
k<=-2
所以k∈（-9/4,-2]
k的取值做的有点晕，你自己再验证下

Answer 2

解：(1)、∵y=-x³是[a，b]上的减函数
∴f(a)=-a³=b
f(b)=-b³=a
∴a/b=±1
又∵－a³=b，
∴a=-1，b=1
∴所求区间为[－1，1]
(2)、∵f′(x)=3/4-1/x²，x∈（0，＋∞），
令f′(x)=3/4-1/x²＞0，得x＞(2/3)根号3
∴x＞(2/3)根号3时，f(x)为（(2/3)根号3 ，＋∞）上的增函数。
令f′(x)=3/4-1/x²＜0，得0＜x＜(2/3)根号3
∴f（x）为（0，(2/3)根号3 ）上的减函数．
∴f（x）不是（0，＋∞）上的单调函数．
∴f（x）不是（0，＋∞）上的闭函数．
(3)、易知f(x)=k+根号(x+2)是[－2，＋∞〕上的增函数．且f(x)≥k
设f(x）=k＋根号(x+2)满足条件②的区间是[a，b]
则f(a）=a,f(b）=b，由此可知
方程f(x）=x的两根是a，b，且a≠b
整理方程f(x）=x得
x²-(2k+1)x+k²-2=0
判别式＞0(方程有两不相等的实根)，解得k＞-9/4
方程的小根（求根公式）≥k（根据函数值域），解得-9/4≤k≤-2
方程的小根（求根公式）≥-2（根据定义域），解得k≥-9/4
以上三个k的取值范围取交集得-9/4＜k≤-2
综上，函数y=k+根号(x+2)为闭函数，k的取值范围是-9/4＜k≤-2

Answer 3

（1）根据闭函数的定义（主要是单调性），只需求出在区间两端点的值即可，因此得：-a^3=a,-b^3=b或者-a^3=b,-b^3=a，得[-1,1]。
（2）易知其单调，只需验证是否存在区间[a,b]即可，方法同（1）。
（3）判断过程与（2）类似，不同点有可能是多了k的取值的讨论。（计算过程自己动手吧！）

Answer 4

答案在图片上

Answer 5

| 离问题结束还有 10 天 22 小时 | 提问者：我血腥
1.f（x）在d内单调递增或单调递减 2.存在区间【a，b】上的值域为【a，b】，把f（x）叫闭函数。1.求闭函数y=-x的三方符合条件2的区间 2.判断f（x）=3/4x+1/x（x大于0）是否为闭函数，说明理由 3.判断函数y=k+根号下x+2是否为闭函数，若是。求出k的取值范围