Question

已知函数f(x)=x^3+2bx+cx-2的图像在与x轴交点出的切线方程是y=5x-10

1.求函数f(x)的解析式
2.设函数g(x)=f(x)+(1/3)*mx,若g(x)的极值存在，求实数m的取值范围，

Answer 1

(1)切线方程y=5x-10与x轴的交点为(2,0),该点在函数f(x)上，代入f(x)得到，0=8+2*(2b+c)-2，2b+c=-3，函数方程为f(x)=x^3-3x-2
(2)g(x)=x^3-3x-2+mx/3，令f'(x)=3x^2-3+m/3=0，x1=√(1-m/9)，x2=-√(1-m/9)，
f"(x1)=6x1=6√(1-m/9)，f"(x2)=6x2=-6√(1-m/9)，要使f(x)极值存在，必须f"(x1)≠0，f"(x2)≠0，因此m的取值范围为m<9。