Question

若α,β 均是锐角,且sinα-sinβ=-1/2,cosα-cosβ=1/2,求tan(α-β)

Answer 1

sinα-sinβ=-1/2 (a)
cosα-cosβ=1/2 (b)
两式相加sinα+cosα = sinβ+cosβ
sinα-cosβ=sinβ-cosα
上式平方：-2(sinαcosβ-cosαsinβ)=（sinβ-cosβ）（sinβ+cosβ）+（cosα-sinα）（cosα+sinα）=（sinβ+cosβ）*（sinβ-cosβ+ cosα-sinα）=（sinβ+cosβ）/4
【因为(b)- (a)得sinβ-cosβ+ cosα-sinα=1/4，且Sinα+cosα=sinβ+cosβ】
即sinαcosβ-cosαsinβ= -（sinβ+cosβ）/8
sinα=sinβ-1/2 (c)
cosα=cosβ+1/2 (d)
(c)、(d)两式平方相加：1=1-sinα+cosβ+1/2 即cosβ-sinβ=-1/2
有2cosβsinβ=3/4
(cosβ+sinβ）^2=1+2cosβsinβ=7/4
cosβ+sinβ=+ -√7/4
α,β 均是锐角cosβ+sinβ>0
∴cosβ+sinβ=√7/4
sinαcosβ-cosαsinβ=-（sinβ+cosβ）/8=-√7/32
(a)、(b)两式平方相加：1-2sinαsinβ-2cosαcosβ+1=1/2
sinαsinβ+cosαcosβ=1-1/4=3/4
tan(α-β)=sin(α-β)/cos(α-β)=(sinαcosβ-cosαsinβ)/(cosαcosβ+sinαsinβ )=（-√7/32）÷（3/4）=-√7/24