Question

证明函数奇偶性问题～～～

证明f(x)＝lg[x+√(1+x^2)]为奇函数
证明y＝√(1-x^2)/|1+x|-x为偶函数

Answer 1

1
可知在R上x+√(1+x^2)>0恒成立
所以f(x)的定义域为R关于y轴对称
又因为f(-x)=lg[-x+√(1+x^2)]=lg{[-x+√(1+x^2)]*[x+√(1+x^2)]/[x+√(1+x^2)]}
=lg{1/[x+√(1+x^2)]}=-lg[x+√(1+x^2)]=f(x)
故f(x)为奇函数
2，
先求定义域，可得
1-x^2>=0,|1+x|-x≠0
解之得x∈[-1,1]关于y轴对称
因为x>=-1
方程可化简为
y＝√(1-x^2)/[|1+x|-x]=√(1-x^2)/[1+x-x]=√(1-x^2)
又因为在定义域上f(-x)=√(1-x^2)=f(x)所以y为偶函数

Answer 2

(1)
f(x)＝lg[x+√(1+x^2)],
f(-x)＝lg[-x+√(1+x^2)]
f(x)+f(-x)=lg[1+x^2-x^2]=lg 1=0
f(x)=-f(-x),得证

(2)
定义域为[-1,1],在这个范围内1+x>=0,1-x>=0
g(x)=√(1-x^2)/|1+x|-x=√(1-x^2)/(1+x-x)=√(1-x^2)
g(-x)=√(1-x^2)/|1-x|+x=√(1-x^2)/(1-x+x)=√(1-x^2)
f(x)=f(-x),得证