Question

高一数学 必修一

1.已知函数f(x)=(x-1)/x
若f(2^x +1)＜3m-1 对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围

2.对于函数f(x),若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立，则称点（x0,f(xo)）为函数f(x)的不动点，若对于任意实数b，函数f(x)=ax^2 +bx-2b 总有两个相异的不动点，求a 的取值范围

3.已知函数f(x)=4(x-a) /(x^2+4）(a∈R)
设方程x^2-2ax-1=0两实数根为m,n ，证明函数f(x)为〔m,n〕上的增函数

Answer 1

解：1。∵f(x)=1-1/x
∴f(2^x +1)＝1-1/（2^x+1）
∵2^x+1＞1∴0＜1/（2^x+1）＜1
∴0＜1-1/（2^x+1）＜1
∵f(2^x +1)＜3m-1 对任意x∈R恒成立
∴3m-1≥1解得m≥2/3
2.根据题意可得x=ax²＋bx-2b 有两个不相等的实根
整理方程可得ax²＋（b－1）x－2b＝0（a≠0）
∴Δ1＝（b－1）²－4a（－2b）＝b²＋（8a-2）b＋1＞0
∵上式必恒大于0
∴上式判别式Δ2必小于0
∴Δ2＝（8a-2）²－4＜0解得0＜a＜1/2
3.∵y＝x^2-2ax-1开口向上∴当X∈〔m,n〕时，y≤0
对f(x)进行求导可得
f′（x）＝4／（x²＋4）－4×2x（x-a）／（x²＋4）²
＝－4（x²－2ax－4）／（x²＋4）²
∵当X∈〔m,n〕时x^2-2ax-1≤0∴x²－2ax－4≤－3
∴－4（x²－2ax－4）＞0∵（x²＋4）²＞0
∴－4（x²－2ax－4）／（x²＋4）²＞0
∴f(x)在X∈〔m,n〕上是增函数

对于第三问如果用比较法来证明非常麻烦，我没有想出来
姑且用求导法

Answer 2

1 f（2^x +1）=2^x /（2^x +1）=1-1/（2^x +1）<1
所以3m-1=1，所以m=0