Question

设函数f(x)对任何实数x1,x2有f(x1+x2)=f(x1)f(x2)且f`(0)=1,证明f`(x)=f(x)

请把详细过程 写出来 一步一步的

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没有思路

Answer 1

我来试试，因为f(0)=f(0+0)=f(0)^2所以f(0)=1或0
当f(0)=0时则f(x)=f(x+0)=f(x)*f(0)=0
则f'(0)就不等于1所以f(0)=1
所以f'(x)=lim[f(x+Δx)-f(x)]/Δx=lim[f(x)f(Δx)-f(x)]/Δx Δx趋于0
当 Δx趋于0时分子分母都为0所以用罗比达法则上下都求导
所以f'(x)=lim[f'(x)f(Δx)+f(x)f'(Δx)-f'(x)]/1 Δx趋于0
当Δx趋于0时则因为f‘(0)=1,f(0)=1
所以f'(x)=f'(x)+f(x)-f'(x)=f(x)
证明完毕

Answer 2

f(0+0)=f(0)f(0) 即 f(0)=f(0)^2 则f(0)=0或1
若f(0)=0.
令x2=0 则f(x+0)=f(x)f(0)=0 即f(x)=0 与f`(0)=1矛盾
所以f(0)不为0.
f(0)=1
f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x) =1 所以f(-x)=1/f(x)
f'(x-x)=f'(x)f(-x)+f(x)f'(-x)=f'(x)/f(x)+f(x)*[-f(x)^(-2)*f'(x)]=f'(x)/f(x)-f(x)/f'(x)=0
令f'(x)/f(x)=a
上述等式为a-1/a=0
解得 a=1 即f'(x)/f(x)=1
即f'(x)=f(x)

Answer 3

这是几年级的