Question

已知函数F(X)=aX-lnX,若F(X)>1在(1,正无穷)内恒成立,求实数a的取值范围

要详细步骤啊

Answer 1

请看分析：f(x)=ax-lnx,若f(x)=ax-lnx>1,在(1,+oo)上恒成立，分离常数a即a>(1+lnx)/x在(1,+oo)上恒成立，该问题等价于a>maxh(x),其中h(x)=(1+lnx)/x,x>1.补充定义h(1)=1,则易知h(x)在x=1处连续。求导易得h'(x)=-lnx/x^2<0,(x>1),得h(x)在(1,+oo)递减，于是maxh(x)=(x-->1)limh(x)=h(1)=1,由于x>1,故h(x)<h(1)=1,此时a须取等号，故a>maxh(x),得a的取值范围：a>=1。此时命题就恒成立了（需要细细理解取等号。）