Question

已知函数f(x)=ax-lnx,若f(x)>1在区间（1，正无穷大）内恒成立，则实数a的取值范围是

要过程方法，谢谢。

Answer 1

分析：f(x)=ax-lnx,若f(x)=ax-lnx>1,在(1,+oo)上恒成立，
分离常数a即a>(1+lnx)/x在(1,+oo)上恒成立，
该问题等价于a>maxh(x),其中h(x)=(1+lnx)/x,x>1.
补充定义h(1)=1,则易知h(x)在x=1处连续。
求导易得h'(x)=-lnx/x^2<0,(x>1),得h(x)在(1,+oo)递减，
于是maxh(x)=(x-->1)limh(x)=h(1)=1,
由于x>1,故h(x)<h(1)=1,此时a须取等号，
故a>maxh(x),得a的取值范围：a>=1。此时命题就恒成立了（需要细细理解取等号。）
522597089

Answer 2

g(x)=f(x)-1=ax-lnx-1
g'(x)=a-1/x
a>=1 g'(x)>=0 g(x)递增 g(1)=a-1>0 g(x)>0
0<a<1 x=1/a g'(1/a)=0 g(1/a)=lna<0
a=<0 g'(x)<0 g(x)递减 g(1)<0
f(x)>1在区间（1，正无穷大）内恒成立，则实数a的取值范围是[1,正无穷大）

Answer 3

一楼正解