Question

已知函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)= f(a)+ f(b)-1成立,当x>0时,f(x)>1

若f(4)=5,解不等式f(3m^2-m-2)<3

Answer 1

f(4)=2f(2)-1
f(2)=3
f(1)=2
f(0)=1
f(0)=f(x)+f(-x)-1
设x2>x1
f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)-1
x2-x1>0
f(x2)+f(-x1)-1>1
又f(-x1)=2-f(x1)
所以f(x2)+2-f(x1)-1>1
即f(x2)-f(x1)>0
即f(x)单调增函数
f(3m^2-m-2)<f(2)
3m^2-m-2<2
3m^2-m-4<0
-1<m<3/4

Answer 2

f(4)=5则 f（2+2）=2f（2）-1=5 则f（2）=3；
则不等式f（3m^2-m-2)<3等价于f（3m^2-m-2)<f（2）；
根据x>0,f(x)>1得 当3m^2-m-2>0时1<f（3m^2-m-2)<f（2)
按照这个思路把1用f的函数表达出来 然后再讨论x<0的情况

Answer 3

1.
f(a+b)= f(a)+f(b)-1
f(2x)=2f(x)-1=2f(x)-2+1
f(3x)=3f(x)-2=3f(x)-3+1
f(4x)=4f(x)-3=4f(x)-4+1
若f(kx)=kf(x)-k+1成立
f[(k+1)x]=(k+1)f(x)+(k+1)-1
f(nx)=nf(x)-n+1(其中n>0)
x=1时，f(4)=5, f(4)=4*f(1)-3
f(1)=2
f(n)=nf(1)-n+1=2n-n+1=n+1
f(n)=f(n+1)+f(-1)-1
f(-1)=f(n)-f(n+1)+1=0
f(0)=f(1)+f(-1)-1=2-1=1
f(nx)=nf(x)-n+1
f(x)=[f(nx)+n-1]/n
f(1/n)=[f(1)+n-1]/n=(n+1)/n=(1/n) +1
f(-n)=nf(-1)-n+1=(-n)+1
所以对任意实数x=m+l/n,m,l,n∈Z
f(x)=f(m)+f(l/n)-1=[m+1]+[lf(1/n)-l+1]-1=(m+l/n)+1=x+1
f(x)=x+1
2.
f(3m^2-m-2)=3m^2-m-2+1
f(3m^2-m-2)<3
3m^2-m+1=3(m^2-m/3)+1-1/12
=3*(m-1/6)^2+1-1/12
=3*(m-1/6)^2 +11/12
3(m-1/6)^2+11/12<3
(m-1/6)^2<1-11/36
|m-1/6|<5/6
-2/3<m<1

Answer 4

f(0)=1,f(2)=2f(1)-1,f(3)=3f(1)-2,f(4)=4f(1)-3=5故f(1)=2,f(2)=3
f(3m^2-m-2)<3=f(2)故3m^2-m-2<2或3m^2-m-2>2,
要根据函数单调性选择不等式，自己做吧