Question

已知定义在（0，正无穷）上的函数f(x),对任意的x,y∈（0，正无穷），都有f(xy)=f(x)+f(y),

且当0<x<1时，f（x）>0
1.证明：当x>1时，f(x)<0
2,判断函数f(x)的单调性并加以证明
3.如果对任意x、y∈（0，正无穷），f（x2+y2）≤f（a）+f（xy）恒成立，求实数a的取值范围

Answer 1

1、显然f(1)=0
对任意x>1有0<(1/x)<1
所以f(1/x)>0
又f(1)=f(x)+f(1/x)=0
因此f(x)=-f(1/x)<0
2、令0<x1<x2则有0<x1/x2<1因此f(x1/x2)>0
又由f(x)性质可知f(x1)=f(x1/x2)+f(x2)
即f(x1)-f(x2)=f(x1/x2)>0
由单调性定义知f(x)单调递减
3.f(a)+f(xy)=f(axy),
因为为单调减函数，f(x2+y2)≤f(axy)
所以axy≤x2+y2
a≤(x2+y2)/xy

Answer 2

1 令X=Y=1，则F（1）=F（1）+F（1），故F（1）=0
令0〈X〈1，Y=1/X〉1则F（1）=F（X）+F（Y），则F（Y）= - F（X），又此时F（X）〉0，故F（Y）〈0