Question

已知f(x)是定义在（0，正无穷）上的函数，且满足f(xy)=f(x)+f(y) f(1/2)=1，对于x、y∈（0，正无穷）

当且仅当x>y时 f(x)<f(y)
若f（-x)+f(3-x)≥-2，求x的取值范围

Answer 1

f(xy)=f(x)+f(y)
令x=y=1:
f(1)=f(1)+f(1)
得f(1)=0
f(-x)+f(3-x)>=-2
[f(-x)+1]+[f(3-x)+1]>=0
[f(-x)+f(1/2)]+[f(3-x)+f(1/2)]>=f(1)
f(-x/2)+f[(3-x)/2]>=f(1)
f[-x(3-x)/4]>=f(1)
当且仅当x>y时 f(x)<f(y)
故有：-x(3-x)/4<=1
-3x+x^2-4<=0
(x-4)(x+1)<=0
-1<=x<=4
又定义域是：-x>0,3-x>0
得到x<0
故解集是-1<=x<0

Answer 2

f(-x)+f(3-x)=f(x^2-3x)>=-2
f(x)=f(x)+f(1)，所以f(1)=0
f(1/4)=2f(1/2)=2
f(4)+f(1/4)=f(1)=0，所以f(4)=-2
又f(x)是减函数，所以x^2-3x<=4
解得-1<=x<=4
又f(x)的定义域是(0，正无穷），
所以-x>0,3-x>0，得到x<0，
所以-1<=x<0

Answer 3

因为f(xy)=f(x)+f(y)
所以f(x)形如f(x)=loga(x)
当且仅当x>y时 f(x)<f(y)
所以f(x)单减，0<a<1
因为f(1/2)=1
所以f(x)=log（1/2）(x)
f（-x)+f(3-x)=log（1/2）((-x)(3-x))≥-2
<=>(-x)(3-x)<=4
x^2-3x-4<=0
-1<=x<=4