Question

如图,以锐角△ABC的一边BC为直径作半圆，交AB于D，交AC于E ⑴若DE=1/2BC，求∠A的度数 ⑵若BC=6，DE=2。求

⑴若DE=1/2BC，求∠A的度数
⑵若BC=6，DE=2。求证：当弦DE在半圆上滑动时，∠A的大小为定值，并求出sinA。

Answer 1

解：（1）设BC中点（即半圆圆心）为F，连接DF，EF；则
因为 DF=EF=1/2BC
DE=1/2BC
所以 DF=EF=DE
即 △DEF为等边三角形
所以 角DFE=60度
又因为 角A=180度-角B-角C
角DFE=180度-角DFB-角EFC
180度-（180度-2角B）-（180度-2角C）
所以 角A=（180渡-角DFE）/2
=60度
（2） 因为 DE大小不变
所以 角DFE大小不变
又因为 角A=（180渡-角DFE）/2
所以 角A为定值

因为 DE滑动角A不变
所以 假设当DE滑动到AC垂直AB时，C，E两点重合
由于角A不变，即sinA不变
又因为 CD垂直BD，即角CDB=90度
角ACB=90度=角CDB
角 B=角B
所以 △ABC相似于△CBD
所以 角A=角BCD
所以 sinA=sinBCD=BD/BC
又因为 DB的平方=CB的平方-CD的平方
即 DB=4倍根号2
所以 sinA=2/3倍根号2

Answer 2

连接OD、OE，∠A=∠ODE=∠DEO=∠DOE=60（OB=OD=OE=DE=OC）
用到了圆的半径、三角形相似、等边三角形······