Question

若函数f(x)=x²-2ax+2在区间【0,4】上至少有一个零点,求实数a的取值范围

Answer 1

f(x)=x2-2ax+2=(x-a)2+2-a2，分类讨论：
①若a≤0或a≥4，则在区间[0，4]上有零点的条件是端点处函数值异号，即f(0)*f(4)<0，解得a>9/4，所以a≥4；
②若0<a<4，则在区间[0，4]上有零点的条件是对称轴处函数值小于零，且两端点处函数值至少有一个为正，即2-a2<0，因为f(0)=2>0，故只要满足2-a2<0，就有零点，解得√2<a<4；
综上所述，实数a的取值范围是a>√2.

Answer 2

f(x)=x^2-2ax+2
=(x-a)^2+2-a^2
抛物线f(x)开口向上，对称轴x=a
1）当对称轴x=a<=0时：
f(0)=2>0
所以：f(x)在[0,4]上无零点，假设不符合
2）当对称轴0<x=a<4时：
f(a)=2-a^2<=0
√2<=a<4
3）当对称轴x=a>=4时：
f(x)在[0,4]上是减函数
f(4)=16-8a+2=18-8a<=0
a>=9/4
所以：a>=4
综上所述，a>=√2