Question

已知函数f(x)=3^x,f(a+2)=18,g(x)=λ*3^ax-4^x的定义域为[0,1]

若g(x）在[0,1]上是单调递减，求实数λ的取值范围

g(x)=λ*3^ax-4^x=λ*3^log3(2)x-4^x
=λ*2^x-4^x
令2^x=t x∈[0,1] t∈[1,2]
λ*2^x-4^x=λt-t²
对称轴t=λ/2 开口朝下 t∈[1,2] t应在 对称轴右侧
λ/2≤1
所以λ≤2

为什么λ/2≤1呢？
g(x)=λ*3^ax-4^x=λ*3^log3(2)x-4^x
=λ*2^x-4^x
令2^x=t x∈[0,1] t∈[1,2]
λ*2^x-4^x=λt-t²
对称轴t=λ/2 开口朝下 t∈[1,2] t应在 对称轴右侧
λ/2≤1
所以λ≤2

是某人的解答
我不理解为什么λ/2≤1

Answer 1

y=λt-t²，是二次函数，结合图象，其图象的开口朝下，对称轴：t=λ/2，
g(x）在[0,1]上是单调递减，即二次函数y=λt-t²在[1，2]上单调递减，
所以t∈[1，2]在对称轴右侧，对称轴：t=λ/2，
从数轴上来看，[1，2]是一个区间，λ/2是一点，t大于等于λ/2，
所以t的最小值：1应大于等于λ/2，

Answer 2

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