Question

已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx,若y=f(x)的导数f'(x)对x∈[-1,1]都有f'(x)≤2，求b/(a-1)的范围 求解答，谢谢

请用线性规划回答，谢谢
答案是b/(a-1)∈(-∞,-2)∪[-1,+∞)，我不明白<-2怎么求的，谢谢
还有-1的范围是怎么判断的？怎么想到那个点的？请告诉我方法，谢谢

Answer 1

由f'(x)对x∈[-1,1]都有f'(x)≤2，有：

3x²+2ax+b≤2

而抛物线y=3x²+2ax+b的开口朝上

于是只需x=1和x=-1时满足条件3x²+2ax+b≤2，即能保证x∈[-1,1]都满足此条件

于是得到：3+2a+b≤2，3-2a+b≤2

即2a+b+1≤0，1-2a+b≤0

以a为横坐标，b为纵坐标建立坐标系，则b/(a-1)为点(a,b)与点(1,0)连线的斜率，如图所示

标出2a+b+1≤0，1-2a+b≤0表示的范围(图中灰色填充区)

方法：代a=b=0入不等式就知道原点这一侧是不是在范围里了

点(a,b)只能在范围里取(包括边)，

其实就是找过点(1,0)并与图中灰色填充区相交的直线(图中绿色线)的斜率范围，

可以看出直线的斜率k的范围是(-∞,-2)∪[-1,+∞)

其中-2取不到是因为当k等于-2时，直线与2a+b+1=0平行，与(a,b)能取到的区域没有交点