Question

设F1，F2分别为椭圆C:(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1(a>b>0)的左，右焦点，过F2的直线交于A,B两点，直线l的倾斜角

设F1，F2分别为椭圆C:(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1(a>b>0)的左，右焦点，过F2的直线交于A,B两点，直线l的倾斜角为60度，且向量AF2=向量2F2B
1、求椭圆C的离心率。
2、若4ab=15，求椭圆C的方程。（详细步骤，如果答案好再多给分）上面呢个向量2F2B，后面呢个2是下标。。

Answer 1

解：(1)设A(x1,y1),B(x2,y2)
直线L的方程为y=√3(x-c),将直线方程代入椭圆中得到
（b^2+3a^2）x^2-6ca^2x+3(ac)^2-(ab)^2=0
∵√△=√（b^2-4ac）=√[(6ca^2)^2-4（b^2+3a^2）(3(ac)^2-(ab)^2)]=4ab^2
∴x1,x2=(3ca^2±2ab^2)/(b^2+3a^2).
∵AF=2FB
∴c-x1=2(x2-c) 即x1+2x2=3c
将x1,x2代入上式中得3cb^2=2ab^2
得e=2/3
(2)BC=ABcos60°=0.5AB=15/8.
BC=x1-x2=15/8
由（1）知道了x1,x2.直接代入得到4ab^2/(b^2+3a^2)=15/8
化简得到32ab^2=15b^2+45a^2
将b^2=a^2-c^2 得
32a(a^2-c^2)=15(a^2-c^2)+45a^2
由离心率e=c/a=2/3知
c=2a/3.代入其中得到a=3
∴c=2, b^2=5
∴椭圆方程为x^2/9+y^2/5=1
这个我也学习一下，以前做的不对，这里也是个进步。那位抄我的朋友，哎，无语！请参考原版链接，有需要hi我。

Answer 2

我也来凑个热闹，帮老大助助兴~

看图片哦~

Answer 3

解：根据题意，设AF1=x
则AF2=2x
根据余弦定理
cosAF2F1=[x²+4c²-(2a-x)²]/(2x*2c)
-1/2=(4c²-4a²+4ax)/(4xc)
-2xc=4c²-4a²+4ax
(4a+2c)x=4a²-4c²
x=(4a²-4c²)/(4a+2c)
同理，设BF2=t，那么BF1=2a-t
cosBF2F1=[t²+4c²-(2a-t)²]/(2t*2c)
1/2=(4c²-4a²+4at)/(4tc)
2tc=4c²-4a²+4at
(4a-2c)t=4a²-4c²
t=(4a²-4c²)/(4a-2c)
这类题目做了不少，总觉得是2AF1=AF2，要不算不出来
2x=t
2(4a²-4c²)/(4a+2c)=(4a²-4c²)/(4a-2c)
1/(2a+c)=1/(4a-2c)
4a-2c=2a+c
2a=3c
e=c/a=2/3
(2)4ab=15
b=15/(4a)
a²=b²+c²
a²=225/(16a²)+4a²/9
5a^4/9=225/16
a^4=45×9/16
a²=9√5/4
b²=5√5/4

Answer 4

!、有圆锥曲线统一的极坐标公式得：AF=(ep)/(1-ecos60),BF=(ep)/(1+ecos60)
而向量AF2=向量2F2B
所以e=2/3
2、e=c/a=2/3
4ab=15
a^2=b^2+c^2
所以， a^2=2.25*5^0.5 b^2=1.25*5^0.5