Question

把正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角，点E,F分别为AD,BC的中点，点O是原正方形ABCD的中心，求折起后角EOF

Answer 1

解：
过F作FG垂直于AC，G在AC上，连接GE；因为二面角B-AC-D为直二面角，所以FG垂直于平面ACD（直二面角的性质），因为FO为平面ADC的斜线，OE在平面ADC内，套用折叠角公式（俗称三扣定理），得：cos角EOF=cos角FOG*cos角GOE...(1)
因为角FOG=180度-角AOF，角GOE=180度-角AOE（邻补角定义），代入(1)得：cos角EOF=(-cos角AOF)*(-cos角AOE）,
即cos角EOF=cos角AOF*cos角AOE.
角AOF易得为：135°
角AOE易得为：45°
所以cos角EOF=cos135*cos45=-0.5
则角EOF =120°

注释：（三垂线定理的一个直接应用）折叠角公式（俗称“三扣定理”因为有3个cos）：若AD为平面的垂线，AB为斜线,BC为平面内一直线，则有：cosABC=cosABD*cosDBC

证：将∠BCD看作直角,则△ABC、△ABD、△BCD均为直角三角形（ABC用射影定理可得）。cosABC=BC/AB cosABD=BD/AB cosDBC=BC/BD,如此，可得cosABC=cosABD*cosDBC