设函数f(x)=lnx+12x2-(m+2)x,在x=a和x=b处有两个极值点,其中a<b,m∈R.(Ⅰ)求实数m的取值范围
设函数f(x)=lnx+12x2-(m+2)x,在x=a和x=b处有两个极值点,其中a<b,m∈R.(Ⅰ)求实数m的取值范围;(Ⅱ)若ba≥e(e为自然对数的底数),求f...
设函数f(x)=lnx+12x2-(m+2)x,在x=a和x=b处有两个极值点,其中a<b,m∈R.(Ⅰ)求实数m的取值范围;(Ⅱ)若ba≥e(e为自然对数的底数),求f(b)-f(a)的最大值.
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(Ⅰ) f′(x)=
,
则由题意得方程x2-(m+2)x+1=0有两个正根,
故
,
解得m>0.故实数m的取值范围是m>0.
(Ⅱ)f(b)?f(a)=ln
+
(b2?a2)?(m+2)(b?a),
又m+2=a+b,ab=1∴f(b)?f(a)=ln
?
(b2?a2)=ln
?
(
)=ln
?
(
?
),
设t=
(t≥e),故,构造函数g(t)=lnt?
(t?
)(t≥e)
g′(t)=
?
(1+
)=?
<0,
所以g(t)在[e,+∞)上是减函数,g(t)≤g(e)=1?
+
,
f(b)-f(a)的最大值为1?
+
x2?(m+2)x+1 |
x |
则由题意得方程x2-(m+2)x+1=0有两个正根,
故
|
解得m>0.故实数m的取值范围是m>0.
(Ⅱ)f(b)?f(a)=ln
b |
a |
1 |
2 |
又m+2=a+b,ab=1∴f(b)?f(a)=ln
b |
a |
1 |
2 |
b |
a |
1 |
2 |
b2?a2 |
ab |
b |
a |
1 |
2 |
b |
a |
a |
b |
设t=
b |
a |
1 |
2 |
1 |
t |
g′(t)=
1 |
t |
1 |
2 |
1 |
t2 |
(t?1)2 |
2t2 |
所以g(t)在[e,+∞)上是减函数,g(t)≤g(e)=1?
e |
2 |
1 |
2e |
f(b)-f(a)的最大值为1?
e |
2 |