Question

已知：关于x的一元二次方程mx2-3（m-1）x+2m-3=0（m为实数）（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值

已知：关于x的一元二次方程mx2-3（m-1）x+2m-3=0（m为实数）（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）求证：无论m为何值，方程总有一个固定的根；（3）若m为整数，且方程的两个根均为正整数，求m的值及方程所有的根．

Answer 1

（1）∵△=b²-4ac=[-3（m-1）]²-4m（2m-3）=（m-3）²，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴（m-3）²＞0且 m≠0，
∴m≠3且 m≠0，
∴m的取值范围是m≠3且 m≠0；

（2）证明：由求根公式x＝

?b± b2?4ac

2a

＝

3(m?1)±(m?3)

2m

，
∴x1＝

3m?3+m?3

2m

＝

2m?3

m

＝2?

3

m

，x2＝

3m?3?m+3

2m

＝1
∴无论m为何值，方程总有一个固定的根是1；

（3）∵m为整数，且方程的两个根均为正整数，
∴x1＝2?

3

m

必为整数，
∴m=±1或m=±3，
当m=1时，x₁=-1（舍去）；当m=-1时，x₁=5；当m=3时，x₁=1；当m=-3时，x₁=3．
∴m=-1或m=±3．