Question

请教高中数学问题，求高手解答，要有详细步骤哦~

Answer 1

PB上选一点F，使得AF垂直于PB，连接AF、FC、AC。明显地，由于A和C关于平面PDB对称，因此A-PB-D等于A-PB-C的一半，CF=AF，而AC为正方形对角线易求得为√2，PA=√2，AB=1，因此PB=√3，AF为PB边上的高，长为1*√2/√3=√6/3。由余弦定理，cos角AFC=(AF^2+CF^2-AC^2)/2/AF/CF=-0.5，角AFC=120度，因此二面角A-PB-D=60度。

如果嫌这么做过于投机取巧，也可以取AC与BD的交点O，连接OF为等腰三角形的底边中线也就是高，这样AOF是直角三角形，也能算出来。

再麻烦一点，做出AF垂直于PB后直接在DB上取O使得OF垂直于PB，连接OA，这样根据F的位置在三角形PDB上分析O点的位置，也能算出一样的结果。

Answer 2

∴∵∠∽⊥△∴∵∠∽⊥△
（1）证明：∵PD=1，CD=1，PC=根2
∴PD^2+CD^2=PC^2
∴△PDC是直角三角形
∴PD⊥DC
又PD⊥BC
∴PD⊥面ABCD
（2）连接AC交AC于点O，连接EO
∵ABCD是正方形
∴AC⊥BD且互相平分，即O是AC中点
又E是PA中点
∴EO∥PC
∴PC∥平面EBD
（3）解：过点O作OF⊥PB于点F，连接AF。
∵PD⊥面ABCD
∴PD⊥AC
又AC⊥BD
∴AC⊥面PBD
∴AC⊥PB
又OF⊥PB
∴PB⊥面AOF
∴PB⊥AF
∴∠AFO就是二面角A-PB-D的平面角
∵ABCD是正方形
∴AO=BO=根2/2
∵PD⊥面ABCD
∴PD⊥BD
又OF⊥PB
∴∠PDB=∠OFB=90°
又∠PBD=∠FBO
∴△FBO∽△PBD
∴OB/PB=OF/PD=FB/BD
∴OF=PD*OB/PB=根2/2÷根(PD^2+BD^2)=根6/6
FB=BD*OB/PB=根3/3
∴AF=根(AB^2-FB^2)=根6/3
∴cos∠AFO=（AF^2+OF^2-AO^2)/2AF*OF=1/3÷（2/3）=1/2
∴∠AFO=60°
即二面角A-PB-D的大小为60°。

Answer 3

解：（1）∵PD=1，DC=1，PC=√2，符合勾股定理，∴PD⊥DC，又PD⊥BC，DC∩BC=C，
∴PD⊥平面ABCD。
（2）连接AC交BD于O，连接EO，在△PAC中，O为AC中点，∴EO为△PAC中位线， ∴PA∥EO，PA不在平面EBD上，EO在平面EBD上，∴ PA∥平面EBD。
（3）过A作AH⊥PB，连接HC，∵△PAB≌△PBC，∴HC⊥PB，∴∠AHC就是二面角A—PB—D的平面角，连接AC，则AC=√2，PA=√2，AB=1，PB=√3，由面积相等得PA×AB=PB×AH，
∴AH=HC=√6/3，在△AHC中，由余弦定理得：cos∠AHC=-1/2，∴二面角A—PB—D为120°