Question

已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，则这个

已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是______．

Answer 1

∵△ABF₂是正三角形，
∴∠AF₂B=60°，
∵直线AB与椭圆长轴垂直，
∴F₂F₁是正三角形△ABF₂的高，∠AF₂F₁=

1

2

×60°=30°，
Rt△AF₂F₁中，设|AF₁|=m，sin30°=

|AF1|

|AF2|

＝

1

2

，
∴|AF₂|=2m，|F₁F₂|=

|AF2|2?|AF1|2

＝

3

m
因此，椭圆的长轴2a=|AF₁|+|AF₂|=3m，焦距2c=

3

m
∴椭圆的离心率为e=

c

a

＝

2c

2a

=

3

3

．
故答案为：

3

3