Question

设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,过F2作椭圆长轴长的垂线交椭圆于点P,若三角形F1PF2为等腰直角三角形，则...

设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,过F2作椭圆长轴长的垂线交椭圆于点P,若三角形F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为？要详细过程哦

Answer 1

郭敦顒回答：
∵三角形F1PF2为等腰直角三角形，∴∠F1PF2=90°，PF1= PF2=a，
椭圆的长半轴为a，短半轴为b，焦距为2c，b= c，离心率为e=c/a，c²=a²－b²，
a²=2c²，c²/a²=1/2，∴e=c/a=（1/2）√2。

Answer 2

x²/a²+y²/b²=1
F2(c,0)
则垂线x=c
c²/a²+y²/b²=1
y²=b²(1-c²/a²)=b²(a²-c²)/a²=b^4/a²
|y|=b²/a
PF2=b²/a
F1F2=2c
所以b²/a=2c
a²-c²=2ac
c²+2ac-a²=0
c=(-2a±2√2a)/2=-a±√2a
c/a=-1±√2
0<e<1
所以e=c/a=-1+√2