Question

F为抛物线y＾2=2px的焦点，过点F的直线l与该抛物线交于A,B两点，l1,l2分别是该抛物线在A,B处的切线，l1...

F为抛物线y＾2=2px的焦点，过点F的直线l与该抛物线交于A,B两点，l1,l2分别是该抛物线在A,B处的切线，l1,l2相交于C,设｜AF｜=a,｜BF｜＝b,则｜CF｜＝?(要详解)

Answer 1

解：抛物线y^2=2px,其准线方程为x=-p/2,焦点F(p/2,0),[br/]设A(x1,y1),B(x2,y2),过焦点可设AB直线方程为x=ky+p/2，联立y^2=2px消去x整理得y^2-2kpy-p^2=0,[br/]可得y1y2=-p^2（定值）易知抛物线上任意一点的斜率（求导）为2yy'=2p,得K=y'=p/y,易得分别过A,B的切线方程为[br/]y=(p/y1)(x-x1)+y1......(1),[br/]y=(p/y2)(x-x2)+y2......(2),[br/]其中x1=y1^2/(2p)......(3),x2=y2^2/(2p)......(4)。[br/]将(3)、(4)代入(1)、(2)。两式相减消去y得两切线交点横坐标[br/]xc=y1y1/2p=-p^2/(2p)=-p/2。[br/]（说明C点在准线上）再用(1)＊y1-(2)＊y2,消去x解得两切线交点纵坐标[br/]yc=(y1+y2)/2,于是点C(-p/2,(y1+y2)/2),[br/]由抛物线第二定义有AF=x1+p/2=a,BF=x2+p/2=b,得x1+x2=a+b-p[br/]注意到(y1+y2)^2=y1^2+y2^2+2y1y2=2p(x1+x2)-2p^2=2p(a+b-p-p)=2p(a+b-2p),[br/]由两点间距离公式得点C到F的距离平方为[br/]d^2=p^2+(y1+y2)^2/4=p^2+p(a+b-2p)/2=p(a+b)/2[br/]于是得到|CF|=[p(a+b)/2]^(1/2)

Answer 2

同时根据抛物线定义可知a=1/4 +y1,b=1/4 +y2,，
到C横坐标x=（b-a）/[2(√b-0.25 + √a-0.25 )] ,纵坐标y=1/4-[(a√(b-0.25) +b√(a-0.25)/(√b-0.25 + √a-0.25 )，而F（0,1/4）,
|FC|^2=ab，