Question

初中数学函数题

如图，抛物线经过A（4,0）B（1,0）C（0，-2）三点
1）求抛物线的解析式
2）p是抛物线上的一动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A.P.M为顶点的三角形与⊿OAC相似？若存在，请给出符合条件的点P的坐标。若不存在，请说明理由。
3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使⊿DCA的面积最大，求出点D的坐标。

Answer 1

设二次函数为y=ax^2+bx+c
代入A（4,0）B(1,0)C（0，-2）
得a=-1/2,b=5/2
则y=(-1/2)x^2+(5/2)x-2

(2)
假设存在,设P(x,y)则:
当P在对称轴左侧时,即(1<x≤5/2)时,有:
OC:OA=PM:AM
即2:4=y:(4-x)
y=(-1/2)x^2+(5/2)x-2
则[(-1/2)x^2+(5/2)x-2]/(4-x)=1/2
得x=2或x=4(舍)
此时P点坐标为P(2,1)

当P在对称轴右侧时,即(5/2≤x<4)时,有:
OC:OA=(4-x):y
y=(-1/2)x^2+(5/2)x-2
则[(-1/2)x^2+(5/2)x-2]/(4-x)=2
得x=4(舍)或x=5(舍)

即只存在一点P(2,1)使△PMA与△OAC相似

(3)
△DCA的底AC固定,即高h在变.
高即点D到AC的距离
设点D(x,y)
AC直线易求:y=(1/2)x-2
即x-2y-4=0

点到直线距离:
|x-2y-4|/√(1^2+2^2)
=|x-2[(-1/2)x^2+(5/2)x-2]-4|/√(1^2+2^2)
=|x^2-4x|/√5

由题知x的范围是0≤x≤4
则|x^2-4x|/√5的最大值在x=2时取得
即此时D(2,1)为所求点.

（2）求相似无非是那几种方法，这题明显是用角角相似，因为两个三角形都有一个已知条件，起码都是直角三角形。然后确定P点的位置，因为A为三角形的顶点且垂足为M，所以A与M不重合M点可能在OA上则点P在X轴上方，还有种可能就是M在A点右侧则点P在X轴下方。然后用角等则弦等。可以确定点P的坐标，2个P点坐标求出之后带入第一问所求的方程看是否成立，若成立则存在，反之不存在。
（3）这问求最大面积，明显是动点。三角形DCA，相同的底AC，高在变化，根据面积公式只要求出动点到直线AC距离最长的点所围成的面积为最大。设点D坐标（X，-1/2x^2+5/2x-2）利用点线距离公式D=｜AXo+BYo+C｜/√A^2+B^2,带入D点化简计算点到线的最大值的X值为多少（最后化简是一元二次方程开口向下，算顶点的X值），带入抛物线方程计算该点的坐标即可。

Answer 2

设该函数解析式为y=ax^2+bx+c
将a(4,0)b(1,0)c(0,-2)，得
a=0.5
b=-2.5
c=-2

Answer 3

10设抛物线的解析式为y=ax^2+bx+c
把A、B、C的坐标代入得到16a+4b+c=0 a+b+c=0 c=-2
解方程组得 a=-1/2 b=5/2 c=-2
抛物线的解析式为 y=-1/2x^2+5/2x-2
2)因为OA=2OC，角AOC=角AMP=90度，所以当MA=2MP或MP=2MA时，⊿OAC与⊿MAP相似。
设P（x，y)，则|MA|=|x-4|，|MP|=|y|
令|x-4|=2|y|，则有|x-4|=|-1/2x^2+5/2x-2| 得到(x+1)(x-3)(x-4)^2=0
x1=-1 x2=3 x3=x4=4
令|y|=2|x-4|，则有 |-1/2x^2+5/2x-2|=2|x-4| 得到 （x+3)(x-5)(x-4)^2=0
x5=-3 x6=5 x7=x8=4
显然x=4时，以A、P、M为三顶点的三角形不存在，所以点P的坐标有四个：
P（-1，-5），P（3，1），P（-3，-14），P（5，-2）
3）设D（x0，y0)，则y0=-1/2x0^2+5/2x0-2
直线CD:y=(y0+2)/x0*x-2与X轴的交点E（2x0/(y0+2)，0）
⊿DCA的面积=⊿ACE的面积+⊿ADE的面积
=1/2*[4-2x0/(y0+2)](2+y0)
=2y0-x0+2
=2(-1/2x0^2+5/2x0-2)-x0+2
=-(x0-2)^2+2
当x0=2时，⊿DCA的面积最大。这时点D的坐标为（2，1）
=