正四面体ABCD中，E为棱AD的中点，求CE和平面BCD所成角的正弦值
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过A作AP⊥BD于P点,连接PC、CE
过E作EF⊥BD于F,连接CF、EF，则CE和平面BCD所成的夹角为角ECF
设正四面体的边长为a,则在正三角形ABD中，高为AP=a√3/2
EF为三角形APD的中位线，可知：EF=AD/2=a√3/4
在直角三角形CPF中，PF=PD/2=BD/4=a/4,PC=CE=AP=a√3/2
可知 CF^2=PC^2+PF^2=(a√3/2)^2+(a/4)^2=13a^2/16
在三角形CEF中，由余弦定理
cos角ECF=(CE^2+CF^2-EF^2)/(2*CE*CF)=[(a√3/2)^2+13a^2/16-(a√3/4)^2]/(2*a√3/2*a√13/4)=11√39/78
可知 sin角ECF=√[1-(11√39/78)^2]=√1365/78
过E作EF⊥BD于F,连接CF、EF，则CE和平面BCD所成的夹角为角ECF
设正四面体的边长为a,则在正三角形ABD中，高为AP=a√3/2
EF为三角形APD的中位线，可知：EF=AD/2=a√3/4
在直角三角形CPF中，PF=PD/2=BD/4=a/4,PC=CE=AP=a√3/2
可知 CF^2=PC^2+PF^2=(a√3/2)^2+(a/4)^2=13a^2/16
在三角形CEF中，由余弦定理
cos角ECF=(CE^2+CF^2-EF^2)/(2*CE*CF)=[(a√3/2)^2+13a^2/16-(a√3/4)^2]/(2*a√3/2*a√13/4)=11√39/78
可知 sin角ECF=√[1-(11√39/78)^2]=√1365/78
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GamryRaman
2023-06-12 广告
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