Question

f(x)＝x²－2x＋2/x，0＜x≤1/4，求最小值，过程，急！！！

Answer 1

f(x)＝(x²－2x＋2)/x，0＜x≤1/4，求最小值

解一：在x>0时，有 f(x)=x-2+(2/x)≧2(√2)-2=2[(√2)-1]；

当x=2/x，即x²=2，x=√2时获得最小值2[(√2)-1]；

但√2∉（0，1/4]；因为有最小值，可知f(x)在区间(0，√2]单调减；

故在区间(0，1/4]上f(x)的最小值=f(1/4)=[(1/4)²-2×(1/4)+2]/(1/4)=25/4.

解二：自然定义域：(-∞，0)∪(0，+∞);

令f'(x)=[x(2x-2)-(x²-2x+2)]/x²=(x²-2)/x²=0，得x²-2=0，故得驻点x₁=-√2;

x₂=√2；x₁是极大点，x₂是极小点。但这两个极值点都不在指定区间(0，1/4]内；

f(x)在区间(-∞，-√2]∪[√2，+∞)上单调增，在区间[-√2，0)∪(0，√2]上单调减.

故f(x)在指定区间(0，1/4]上的最小值=f(1/4)=25/4.

Answer 2

f(x)＝x²－2x＋2/x 当x=1/4时有最小值1/16-1/2+8=7又9/16
f(x)＝(x²－2x＋2)/x 当x=1/4时有最小值1/4-2+8=6又1/4