Question

若函数f（x）=﹛（2b-1）x+b-1，x＞0，在R上为增函数，则函数b的取值范围是 ﹛ -x²+(2-b）x，x≤0

Answer 1

x≤0时，是开口向下的抛物线，0点：x=0，x=2-b，左支是增函数，右支是减函数，x≤0是增函数，因此x=0在左支上，x=0，是左边的一个0点，x=2-b是右边的0点，2-b≥0,b≤2;
x>0时，是直线；斜率大于0时是增函数，2b-1>0,b>1/2;
这是分段函数，为了全r上是增函数，分界点处，左边必须小于右边。x=0是分界点，左边=0，右边=b-1，右边≥左边，b-1≥0，b≥1；
综合以上内容，得：1≤x≤2

Answer 2

若函数f（x）=﹛（2b-1）x+b-1，x＞0，在R上为
增函数
，则函数b的
取值范围
是
﹛-x²+(2-b）x，x≤0
由题意得﹛2b-1＞2，
﹛2-b＞0
﹛b-1≥f（0），
请问这三个不等式是怎么来的呢？
分析：∵
分段函数
：
F(x)=(2b-1)x+b-1，(x>0)
F(x)=-x^2+(2-b)x，(x≤0)
在R上为增函数
当x>0时，F(x)=(2b-1)x+b-1，要单调增，只要直线斜率2b-1>0；
当x<=0时，F(x)=-x^2+(2-b)x，为开口向下的抛物线，要单调增，只要取抛物线的左部分
∴须使对称轴x=(2-b)/2>0==>2-b>0；
又∵在R上为增函数
须使，当x>0时，F(x)=(2b-1)x+b-1与Y轴交点为b-1当x<=0时，F(x)=-x^2+(2-b)x，f(0)=0
∴须使b-1>=f(0)=0