Question

已知函数f(x)=ax²+3在定义域[a+1,2a]上是偶函数,为什么(a+1)+2a=0？

Answer 1

由题目已知，函数f(x)在定义域[a+1,2a]上是偶函数，即对于所有的x在定义域上，有
f(-x) = f(x)
因此，我们可以把x替换成-x，得到：
f(-(a+1)) = f(-x) = f(x) = f(a+1)
同样，我们也可以把x替换成2a，得到：
f(-2a) = f(-x) = f(x) = f(2a)
这两个式子可以化简为：
a(-(a+1))²+3 = a(a+1)²+3
a(2a+1) = a(a+1)²
通过展开和合并同类项，我们得到了一个关于a的二次方程。将其化为标准形式：
a² - 2a - 1 = 0
这是一个关于a的二次方程，我们可以使用求根公式计算它的解：
a = [2 ± √(4 + 4)] / 2
a = [2 ± 2√2] / 2
a = 1 ± √2
注意到我们已知的定义域是[a+1, 2a]，因此a+1必须小于等于2a，即：
a+1 ≤ 2a
1 ≤ a
另外，根据偶函数的定义，我们知道零点（也就是函数图像的对称轴）必须位于区间的中点，即
-(-(a+1) + 2a) / 2 = (a+1+2a) / 2 = (3a+1) / 2
因此，零点应该是一个a的函数，可以表示为(a+1+2a)/2 = 3a/2 + 1/2。
现在我们回到题目要求的问题，即为什么(a+1)+2a=0。
我们可以将它化简为 3a+1=0，从上面已知的解中，可以发现a+1的取值范围应该是(1+√2， 1-√2)。因此我们只需要在这个范围内寻找一个解，使得3a+1=0即可。通过计算可以发现当a=-1/3时满足这个条件，因此(a+1)+2a=0成立。
因此，根据函数f(x)的对称性和对称轴零点的定义，我们得出(a+1)+2a=0的结论。

Answer 2

因为偶函数的定义为：对于任意的x∈定义域D，必有-x∈D，且f(x)=f(-x),所以偶函数的定义域必然是以原点为中心的对称区间，即必有两端点的坐标和为零，所以，
已知函数f(x)=ax²+3在定义域[a+1,2a]上是偶函数,必有：(a+1)+2a=0。

Answer 3

根据题目中给出的条件，函数f(x)=ax²+3在定义域[a+1,2a]上是偶函数。
一个函数是偶函数，意味着它关于y轴对称，即f(x) = f(-x)。
我们可以将定义域中的两个点进行比较，即f(a+1) = f(-(a+1)) 和 f(2a) = f(-2a)。
根据函数的定义，f(a+1) = a(a+1)² + 3，f(-(a+1)) = a(-(a+1))² + 3。
将这两个式子进行比较，我们可以得到a(a+1)² + 3 = a(-(a+1))² + 3。
化简这个等式，我们可以得到a(a+1)² = a(a+1)²。
这个等式对于任何实数a都成立，因此(a+1)+2a=0是一个恒等式。
所以，(a+1)+2a=0是因为函数f(x)=ax²+3在定义域[a+1,2a]上是偶函数的结果。

Answer 4

因为函数f(x)在定义域[a+1,2a]上是偶函数，所以它满足f(x) = f(-x)。那么我们可以列出以下方程：
f(a+1) = f(-(a+1)) （1）
f(2a) = f(-2a) （2）
根据题意，函数f(x)的表达式为：
f(x) = ax² + 3
将（1）代入f(x)的表达式中，得到：
f(a+1) = a(a+1)² + 3
f(-(a+1)) = a(-(a+1))² + 3 = a(a+1)² + 3
因为f(a+1) = f(-(a+1))，所以有：
a(a+1)² + 3 = a(a+1)² + 3
将（2）代入f(x)的表达式中，得到：
f(2a) = a(2a)² + 3 = 4a² + 3
f(-2a) = a(-2a)² + 3 = 4a² + 3
因为f(2a) = f(-2a)，所以有：
4a² + 3 = 4a² + 3
综上所述，我们得到以下两个等式：
a(a+1)² + 3 = a(a+1)² + 3 （3）
4a² + 3 = 4a² + 3 （4）
将（3）式化简，得到：
a(a+1)² = a(a+1)²
展开式子，得到：
a³ + 2a² + a = a³ + 2a² + a
化简后得到：
a = -1
将a=-1代入题目中的定义域[a+1,2a]，得到：
[a+1,2a] = [0,-2]
因此，(a+1)+2a=-1+(-2)=-3，与0不相等。因此，原题中的假设不成立，题目中给出的条件与结论不符。

Answer 5

因为在定义域[a+1,2a]上，f(x)=ax²+3是偶函数，即对于任意x∈[a+1,2a]，都有f(x)=f(-x)。因此，对于任意x∈[a+1,2a]，有：
f(x) = ax² + 3
f(-x) = a(-x)² + 3 = ax² + 3
因此，对于任意x∈[a+1,2a]，都有：
ax² + 3 = ax² + 3
移项得：
0 = 0
因此，上述方程在[a+1,2a]上恒成立。
特别地，当x=a+1时，有：
ax² + 3 = f(a+1) = f(-(2a-(a+1))) = f(1-a) = a(1-a)² + 3
代入原方程得：
a(a+2) = 0
因为a≠-2，
所以有：
a+1+2a = 3a = 0
因此，(a+1)+2a=0。