Question

limx→1+tan(x-1)²/x²-1求极限

Answer 1

要求这个极限：
lim(x→1) [(tan(x-1))^2 / (x^2 - 1)]
我们可以先将分子和分母分别因式分解：
lim(x→1) [(tan(x-1))^2 / (x^2 - 1)]
= lim(x→1) [(tan(x-1) / (x-1))^2 / (x+1)(x-1)]
= lim(x→1) [(tan(x-1) / (x-1))^2 / (x+1)(x-1)]
= lim(x→1) [(tan(x-1) / (x-1))^2 / (x^2 - 1)]
现在，我们可以将(x-1)作为一个新的变量t，那么当x→1时，t→0。因此，上面的式子可以写成：
lim(t→0) [(tan t / t)^2 / (1 + t)(1 - t)]
接下来，我们可以使用极限的基本性质，将极限符号移动到分子和分母里面，得到：
lim(t→0) [(tan t / t)^2] / lim(t→0) [(1 + t)(1 - t)]
右侧的极限可以通过直接代入t=0来求得，得到1。对于左侧的极限，我们可以使用三角函数的极限公式lim(x→0) [tan(x)/x] = 1，即当x趋近于0时，tan(x)/x的极限为1。因此，左侧的极限为1^2=1。
因此，原式的极限为1/1=1。