Question

急！！数学问题，求详细过程

17. 双曲线x^2/16-y^2/9=1上到定点(5,0)的距离是6的点有_____个

Answer 1

解：设定点(5,0)为A，由方程可知：
双曲线顶点为(4,0)(-4,0)
①左支到A的最小距离为左顶点到A的距离，即9
所以左支不存在与A距离为6的点
②做直线x=5，截双曲线于(5,9/4)(5,-9/4)，则此两点到A的距离为9/4
所以右支在x=5左侧的部分到A的距离小于9/4，即不存在距离为6的点
③∵右支向右不断延伸，所以至少存在一点M使得M到A的距离为6
根据双曲线的对称性，M关于x轴的对称点M’到A的距离也为6
即右支存在不少于2个点，使得其到A的距离为6
④下面证明右支至多有2个点使得其到A的距离为6
设第三点为N
∵AN=AM=AM‘，∴M,M',N在以A为圆心的圆上
由双曲线的性质可知，
当圆与双曲线的一支有3个交点时
则所有交点横坐标均在顶点到圆心之内。
(此性质证明方法：过圆心做垂直与x轴的直线，以被截得的线段为直径的做一个圆，则双曲线位于顶点到圆心的图像均在此圆内)
故不存在第三点。
综合①②③④可知：
有且只有2个点，满足上述条件