Question

急急急！！！数学高二推理与证明习题

在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上的点，证明：S△ABE/S△ACE=BD/DC.

Answer 1

假设△ABC的高为h，△BCE的高为h1.
得：S△ABD=1/2.BD.h S△EBD=1/2.BD.h1
S△ACD=1/2.CD.h S△ECD=1/2.CD.h1
所以：S△ABD/S△ACD=S△EBD/S△ECD=BD/CD
所以：S△ABE/S△ACE=BD/DC

Answer 2

延长AD，
过B作BP垂直AD于P，过C作CQ垂直AD于Q,(P,Q可能有一点在AD延长线上)
可知BP平行于CQ，
易证△BDP相似于△CDQ，(BP平行CQ,角BDP=角CDQ)
则有
BP:DQ=BD:DC
因为S△ABE=0.5*AE*BP,S△ACE=0.5*AE*DQ,
所以得证

Answer 3

分别从B、C向AD作垂线，垂脚设为F、G，
S△ABE=1/2AE*BF,S△ACE=1/2AE*CG，
S△ABE/S△ACE=BF/CG,
又因为△BFD与△CGD相似，
所以BF/CG=BD/DC=S△ABE/S△ACE。

Answer 4

分别过B，C作AD的垂线，交于M，N
△ABE=1/2AE*BM S△ACE=1/2AE*CN S△ABE/S△ACE=BM/NC
三角形BDM与CDN相似，BM/CN=BD/DC
S△ABE/S△ACE=BD/DC