Question

如图，AB为半圆O的直径，AE为⊙O的一条弦，C为的中点，若AE＝a，CD⊥AB于D 求CD的长．

如图，AB为半圆O的直径，AE为⊙O的一条弦，C为弧AE的中点，若AE＝a，CD⊥AB于D
求CD的长．(多种方法)

Answer 1

1、圆的对称性质：圆是轴对称图形，也是中心对称图形。过圆心的任意一条直线都是圆的对称轴；圆心是对称中心。

2、弦与直径垂直的性质

定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧

规律：一条直线如果具有①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧，这五个性质中的任意两个，则必定具有其余的三个性质。

（注：此规律中要注意①和③中应除去弦为直径这种情况）

3、圆的直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角，则它所对的弦是圆的直径。

【典型例题】

例1、如图，ABCD是直角梯形，AD//BC，∠C=∠D=90°，以斜腰AB为直径作半圆，交腰CD于E、F，交BC于G。

求证：①DE=CF ②
解析：①根据已知条件，可联想“弦与直径垂直的性质”。比如，过O作OH⊥CD于H，则EH=FH，而要证明DE=CF，只需证明DH=CH即可。

对于②，可联想圆的重要性质：“圆中两条平行的弦，所夹的弧相等”

所以，连结AG，看看能否证明AG//CD

过O作OH⊥CD于H，则∵OH⊥CD，∴H为CD中点

∴DH=CH，又EH=FH，∴DH－EH=CH－FH

∴DE=CF

又连结AG，∵AB为圆O的直径，∴∠AGB=90°

∴∠C=90°，∴AG//CD，∴ 。

注：一般地，①已知圆的弦，常可作该弦的弦心距来进一步研究。

②已知圆的直径，常可联想直径所对的圆周角为直角。

③在圆的题中，证明角、线段、弧相等的基本方法是：证明圆心角、弧、弦和弦心距这四组几何量中的任一组量相等，从而转化为证明其余的三组几何量之一相等。

例2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，以C为圆心，CA为半径作圆交AB于D。求AD的长。

解析：由于AD是圆C的弦，故而可联想“垂直于弦的直径”

又由“垂直”去联想三角形的面积。

过C作CE⊥AD于E

∵Rt△ABC中，AC=6，BC=8，∴由勾股定理，得AB=10

，∴Rt△CAE中，由勾股定理，求得 ，注意到CE所在的直线为圆C的直径所在的直线

∴根据“垂直于弦的直径平分弦”知： 。

例3、如图，△ABC中，∠A=70°，圆O截△ABC的三边所得的弦长相等，求∠BOC的度数。

解析：由弦的相等可得知“弦所对的弦心距相等”。

过点O作OM⊥AB，ON⊥BC，OP⊥AC，垂足为M、N、P

∵圆O截△ABC的三条边所得的弦长相等。

∴OM=ON=OP

∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB

∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB

又∠A=70°，∴∠ABC+∠ACB=110°

∴∠BOC=180° （∠ABC+∠ACB）=125°

例4、如图，半径为5cm的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为8cm，另一条长6cm，求这两条弦之间的距离。

解析：求解此题要注意，①两条弦之间的距离即为两条弦的弦心距之和。

②两条平行弦有两种不同的位置关系。

过点O作ON⊥AB于点N，则讨论如下：

（1）当AB、CD在点O的同侧时：

∵AB//CD，∴OM⊥CD

又ON⊥AB，
∵OB=5cm，∴ON=3cm

同理，得OM=4cm，∴NM=MO－NO=1（cm）

（2）当AB、CD在点O的两侧时，同理可求得NM=OM+ON=7（cm）

∴两弦之间的距离为1cm或7cm。

【模拟试题】（答题时间：30分钟）

1、已知圆O的半径OA=1，弦AB、AC的长分别为 ，则∠BAC的度数为_________。

2、圆O的直径AB=4，C在圆O上，∠BAC=30°，则弦AC的长为_________。

3、圆O中，弦AB、CD互相垂直于点H，AH=4，BH=6，CH=3，DH=8，求圆O的半径。

4、圆O的直径AB与弦CD相交于点E，已知AE=1，BE=5，∠DEB=60°，求CD的长。

5、下列判断正确的是（ ）

①平分弦的直径垂直于弦

②平分弦的直线也平分弦所对的两条弧

③弦的中垂线必定平分弦所对的两条弧

④平分一条弧的直线必定平分这条弧所对的弦

6、如图，圆O中弦AB=8，半径OA=5，C是 的中点，求AC的长。

7、点O在∠CAE的平分线上，以O为圆心的圆分别交∠CAE的两边于点B、C、D、E。求证：AB=AD。

8、AB为圆O的直径，C在圆O上，∠ABC的平分线交圆O于D，交CA于E，已知BC=6，AC=8，求CD的长。

9、AB为圆O的直径，割线l交圆O于M、N，AC⊥l，且交圆O于E，BD⊥l于D，若AB=10，AC=7，BD=1，求OC的长。

10、圆O中，AB是直径，CD是弦，AF⊥CD于F，BE⊥CD于E

（1）求证：CE=DF

（2）若AF=32，BE=8，求点O到CD的距离。

【试题答案】

1、15°或75°

提示：分弦AB、AC在OA的同侧或异侧两种情况求解。

2、
3、
4、
5、③

6、
7、提示：作OM⊥BC于M，ON⊥AE于N，证明CA=EA，CB=DE

8、
9、
提示：连EB，且过点O作OP⊥CD于P，连OC

在Rt△OPC中，用勾股定理求解即可。

10、（1）提示：过O作CD的垂线，垂足为G，证明G为EF中点

（2）12．提示：连结BF交OG的延长线于H，则H为BF的中点。

Answer 2

解：
延长CD，交圆O于点F
∵DF⊥AB
∴弧AF =弧AC
∵C是弧AE的中点
∴弧AC=弧CE
∴弧AE=弧CF
∴AE=CF
∴CD=1/2CF=1/2AE=a/2

Answer 3

延长CD，交圆O于点F
∵DF⊥AB
∴弧AF =弧AC
∵C是弧AE的中点
∴弧AC=弧CE
∴弧AE=弧CF
∴AE=CF
∴CD=1/2CF=1/2AE=a/2