![](https://iknow-base.cdn.bcebos.com/lxb/notice.png)
如图,AB为半圆O的直径,AE为⊙O的一条弦,C为的中点,若AE=a,CD⊥AB于D 求CD的长.
如图,AB为半圆O的直径,AE为⊙O的一条弦,C为弧AE的中点,若AE=a,CD⊥AB于D求CD的长.(多种方法)...
如图,AB为半圆O的直径,AE为⊙O的一条弦,C为弧AE的中点,若AE=a,CD⊥AB于D
求CD的长.(多种方法) 展开
求CD的长.(多种方法) 展开
3个回答
展开全部
1、圆的对称性质:圆是轴对称图形,也是中心对称图形。过圆心的任意一条直线都是圆的对称轴;圆心是对称中心。
2、弦与直径垂直的性质
定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧
规律:一条直线如果具有①经过圆心;②垂直于弦;③平分弦;④平分弦所对的劣弧;⑤平分弦所对的优弧,这五个性质中的任意两个,则必定具有其余的三个性质。
(注:此规律中要注意①和③中应除去弦为直径这种情况)
3、圆的直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角,则它所对的弦是圆的直径。
【典型例题】
例1、如图,ABCD是直角梯形,AD//BC,∠C=∠D=90°,以斜腰AB为直径作半圆,交腰CD于E、F,交BC于G。
求证:①DE=CF ②
解析:①根据已知条件,可联想“弦与直径垂直的性质”。比如,过O作OH⊥CD于H,则EH=FH,而要证明DE=CF,只需证明DH=CH即可。
对于②,可联想圆的重要性质:“圆中两条平行的弦,所夹的弧相等”
所以,连结AG,看看能否证明AG//CD
过O作OH⊥CD于H,则∵OH⊥CD,∴H为CD中点
∴DH=CH,又EH=FH,∴DH-EH=CH-FH
∴DE=CF
又连结AG,∵AB为圆O的直径,∴∠AGB=90°
∴∠C=90°,∴AG//CD,∴ 。
注:一般地,①已知圆的弦,常可作该弦的弦心距来进一步研究。
②已知圆的直径,常可联想直径所对的圆周角为直角。
③在圆的题中,证明角、线段、弧相等的基本方法是:证明圆心角、弧、弦和弦心距这四组几何量中的任一组量相等,从而转化为证明其余的三组几何量之一相等。
例2、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,以C为圆心,CA为半径作圆交AB于D。求AD的长。
解析:由于AD是圆C的弦,故而可联想“垂直于弦的直径”
又由“垂直”去联想三角形的面积。
过C作CE⊥AD于E
∵Rt△ABC中,AC=6,BC=8,∴由勾股定理,得AB=10
,∴Rt△CAE中,由勾股定理,求得 ,注意到CE所在的直线为圆C的直径所在的直线
∴根据“垂直于弦的直径平分弦”知: 。
例3、如图,△ABC中,∠A=70°,圆O截△ABC的三边所得的弦长相等,求∠BOC的度数。
解析:由弦的相等可得知“弦所对的弦心距相等”。
过点O作OM⊥AB,ON⊥BC,OP⊥AC,垂足为M、N、P
∵圆O截△ABC的三条边所得的弦长相等。
∴OM=ON=OP
∴OB平分∠ABC,OC平分∠ACB
∴∠OBC= ∠ABC,∠OCB= ∠ACB
又∠A=70°,∴∠ABC+∠ACB=110°
∴∠BOC=180° (∠ABC+∠ACB)=125°
例4、如图,半径为5cm的圆内有两条互相平行的弦,一条弦长为8cm,另一条长6cm,求这两条弦之间的距离。
解析:求解此题要注意,①两条弦之间的距离即为两条弦的弦心距之和。
②两条平行弦有两种不同的位置关系。
过点O作ON⊥AB于点N,则讨论如下:
(1)当AB、CD在点O的同侧时:
∵AB//CD,∴OM⊥CD
又ON⊥AB,
∵OB=5cm,∴ON=3cm
同理,得OM=4cm,∴NM=MO-NO=1(cm)
(2)当AB、CD在点O的两侧时,同理可求得NM=OM+ON=7(cm)
∴两弦之间的距离为1cm或7cm。
【模拟试题】(答题时间:30分钟)
1、已知圆O的半径OA=1,弦AB、AC的长分别为 ,则∠BAC的度数为_________。
2、圆O的直径AB=4,C在圆O上,∠BAC=30°,则弦AC的长为_________。
3、圆O中,弦AB、CD互相垂直于点H,AH=4,BH=6,CH=3,DH=8,求圆O的半径。
4、圆O的直径AB与弦CD相交于点E,已知AE=1,BE=5,∠DEB=60°,求CD的长。
5、下列判断正确的是( )
①平分弦的直径垂直于弦
②平分弦的直线也平分弦所对的两条弧
③弦的中垂线必定平分弦所对的两条弧
④平分一条弧的直线必定平分这条弧所对的弦
6、如图,圆O中弦AB=8,半径OA=5,C是 的中点,求AC的长。
7、点O在∠CAE的平分线上,以O为圆心的圆分别交∠CAE的两边于点B、C、D、E。求证:AB=AD。
8、AB为圆O的直径,C在圆O上,∠ABC的平分线交圆O于D,交CA于E,已知BC=6,AC=8,求CD的长。
9、AB为圆O的直径,割线l交圆O于M、N,AC⊥l,且交圆O于E,BD⊥l于D,若AB=10,AC=7,BD=1,求OC的长。
10、圆O中,AB是直径,CD是弦,AF⊥CD于F,BE⊥CD于E
(1)求证:CE=DF
(2)若AF=32,BE=8,求点O到CD的距离。
【试题答案】
1、15°或75°
提示:分弦AB、AC在OA的同侧或异侧两种情况求解。
2、
3、
4、
5、③
6、
7、提示:作OM⊥BC于M,ON⊥AE于N,证明CA=EA,CB=DE
8、
9、
提示:连EB,且过点O作OP⊥CD于P,连OC
在Rt△OPC中,用勾股定理求解即可。
10、(1)提示:过O作CD的垂线,垂足为G,证明G为EF中点
(2)12.提示:连结BF交OG的延长线于H,则H为BF的中点。
2、弦与直径垂直的性质
定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧
规律:一条直线如果具有①经过圆心;②垂直于弦;③平分弦;④平分弦所对的劣弧;⑤平分弦所对的优弧,这五个性质中的任意两个,则必定具有其余的三个性质。
(注:此规律中要注意①和③中应除去弦为直径这种情况)
3、圆的直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角,则它所对的弦是圆的直径。
【典型例题】
例1、如图,ABCD是直角梯形,AD//BC,∠C=∠D=90°,以斜腰AB为直径作半圆,交腰CD于E、F,交BC于G。
求证:①DE=CF ②
解析:①根据已知条件,可联想“弦与直径垂直的性质”。比如,过O作OH⊥CD于H,则EH=FH,而要证明DE=CF,只需证明DH=CH即可。
对于②,可联想圆的重要性质:“圆中两条平行的弦,所夹的弧相等”
所以,连结AG,看看能否证明AG//CD
过O作OH⊥CD于H,则∵OH⊥CD,∴H为CD中点
∴DH=CH,又EH=FH,∴DH-EH=CH-FH
∴DE=CF
又连结AG,∵AB为圆O的直径,∴∠AGB=90°
∴∠C=90°,∴AG//CD,∴ 。
注:一般地,①已知圆的弦,常可作该弦的弦心距来进一步研究。
②已知圆的直径,常可联想直径所对的圆周角为直角。
③在圆的题中,证明角、线段、弧相等的基本方法是:证明圆心角、弧、弦和弦心距这四组几何量中的任一组量相等,从而转化为证明其余的三组几何量之一相等。
例2、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,以C为圆心,CA为半径作圆交AB于D。求AD的长。
解析:由于AD是圆C的弦,故而可联想“垂直于弦的直径”
又由“垂直”去联想三角形的面积。
过C作CE⊥AD于E
∵Rt△ABC中,AC=6,BC=8,∴由勾股定理,得AB=10
,∴Rt△CAE中,由勾股定理,求得 ,注意到CE所在的直线为圆C的直径所在的直线
∴根据“垂直于弦的直径平分弦”知: 。
例3、如图,△ABC中,∠A=70°,圆O截△ABC的三边所得的弦长相等,求∠BOC的度数。
解析:由弦的相等可得知“弦所对的弦心距相等”。
过点O作OM⊥AB,ON⊥BC,OP⊥AC,垂足为M、N、P
∵圆O截△ABC的三条边所得的弦长相等。
∴OM=ON=OP
∴OB平分∠ABC,OC平分∠ACB
∴∠OBC= ∠ABC,∠OCB= ∠ACB
又∠A=70°,∴∠ABC+∠ACB=110°
∴∠BOC=180° (∠ABC+∠ACB)=125°
例4、如图,半径为5cm的圆内有两条互相平行的弦,一条弦长为8cm,另一条长6cm,求这两条弦之间的距离。
解析:求解此题要注意,①两条弦之间的距离即为两条弦的弦心距之和。
②两条平行弦有两种不同的位置关系。
过点O作ON⊥AB于点N,则讨论如下:
(1)当AB、CD在点O的同侧时:
∵AB//CD,∴OM⊥CD
又ON⊥AB,
∵OB=5cm,∴ON=3cm
同理,得OM=4cm,∴NM=MO-NO=1(cm)
(2)当AB、CD在点O的两侧时,同理可求得NM=OM+ON=7(cm)
∴两弦之间的距离为1cm或7cm。
【模拟试题】(答题时间:30分钟)
1、已知圆O的半径OA=1,弦AB、AC的长分别为 ,则∠BAC的度数为_________。
2、圆O的直径AB=4,C在圆O上,∠BAC=30°,则弦AC的长为_________。
3、圆O中,弦AB、CD互相垂直于点H,AH=4,BH=6,CH=3,DH=8,求圆O的半径。
4、圆O的直径AB与弦CD相交于点E,已知AE=1,BE=5,∠DEB=60°,求CD的长。
5、下列判断正确的是( )
①平分弦的直径垂直于弦
②平分弦的直线也平分弦所对的两条弧
③弦的中垂线必定平分弦所对的两条弧
④平分一条弧的直线必定平分这条弧所对的弦
6、如图,圆O中弦AB=8,半径OA=5,C是 的中点,求AC的长。
7、点O在∠CAE的平分线上,以O为圆心的圆分别交∠CAE的两边于点B、C、D、E。求证:AB=AD。
8、AB为圆O的直径,C在圆O上,∠ABC的平分线交圆O于D,交CA于E,已知BC=6,AC=8,求CD的长。
9、AB为圆O的直径,割线l交圆O于M、N,AC⊥l,且交圆O于E,BD⊥l于D,若AB=10,AC=7,BD=1,求OC的长。
10、圆O中,AB是直径,CD是弦,AF⊥CD于F,BE⊥CD于E
(1)求证:CE=DF
(2)若AF=32,BE=8,求点O到CD的距离。
【试题答案】
1、15°或75°
提示:分弦AB、AC在OA的同侧或异侧两种情况求解。
2、
3、
4、
5、③
6、
7、提示:作OM⊥BC于M,ON⊥AE于N,证明CA=EA,CB=DE
8、
9、
提示:连EB,且过点O作OP⊥CD于P,连OC
在Rt△OPC中,用勾股定理求解即可。
10、(1)提示:过O作CD的垂线,垂足为G,证明G为EF中点
(2)12.提示:连结BF交OG的延长线于H,则H为BF的中点。
展开全部
解:
延长CD,交圆O于点F
∵DF⊥AB
∴弧AF =弧AC
∵C是弧AE的中点
∴弧AC=弧CE
∴弧AE=弧CF
∴AE=CF
∴CD=1/2CF=1/2AE=a/2
延长CD,交圆O于点F
∵DF⊥AB
∴弧AF =弧AC
∵C是弧AE的中点
∴弧AC=弧CE
∴弧AE=弧CF
∴AE=CF
∴CD=1/2CF=1/2AE=a/2
本回答被提问者采纳
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是?
展开全部
延长CD,交圆O于点F
∵DF⊥AB
∴弧AF =弧AC
∵C是弧AE的中点
∴弧AC=弧CE
∴弧AE=弧CF
∴AE=CF
∴CD=1/2CF=1/2AE=a/2
∵DF⊥AB
∴弧AF =弧AC
∵C是弧AE的中点
∴弧AC=弧CE
∴弧AE=弧CF
∴AE=CF
∴CD=1/2CF=1/2AE=a/2
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是?
推荐律师服务:
若未解决您的问题,请您详细描述您的问题,通过百度律临进行免费专业咨询