Question

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c,,当a>0时,求证:对任意的实数

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c,(1),当a>0时,求证:对任意的实数x1,x2,总有f[(x1+x2)/2]<=1/2[f(x1)+f(x2)]
(2)当x属于【-1,1】时，/f(x)/<=1,是否存在a,b,c,使得/f2)/>36/5成立？若存在，请写出一组满足条件的A,B,C的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

(1),
1/2[f(x1)+f(x2)]
=[ax1²+ax2²+bx1+bx2+2c]/2
=[a(x1²+x2²)/2+b(x1+x2)/2+c
f(x1+x2)/2)
=a(x1+x2)/2)²+b(x1+x2)/2)+c
=a(x1+x2)²/4+b(x1+x2)/2+c
∵2(x1x2)≤(x1²+x2²)
2(x1x2)+x1²+x2²≤2(x1²+x2²)
(x1+x2)²≤2(x1²+x2²)
∴(x1+x2)²/4≤(x1²+x2²)/2
当a>0时
∴a(x1+x2)²/4≤a(x1²+x2²)/2
∴a(x1+x2)²/4+b(x1+x2)/2+c≤a(x1²+x2²)/2+b(x1+x2)/2+c
故f((x1+x2)/2)≤{f(x1)+f(x2)}/2
(2)当x属于【-1,1】时，/f(x)/<=1,是否存在a,b,c,使得/f2)/>36/5成立？若存在，请写出一组满足条件的A,B,C的值；若不存在，请说明理由。
已知二次函数f(x)=ax²+bx+c
x属于【-1,1】时，|f(x)|≤1
分别令x=1,-1,0，得到
|f(-1)|=|a-b+c|≤1
|f(1)|=|a+b+c|≤1
|f(0)|=|c|≤1
|f2)|=|4a+2b+c|
=| 3(a+b+c) + (a-b+c) - 3c| ≤3|a+b+c | + |a-b+c| +3|c|
|f2)|≤3|a+b+c | + |a-b+c| +3|c| ≤7
|f2)|≤7<36/5

不存在

Answer 2

1，利用(x+y)^2≤2(x^2+y^2)
1/2[f(x1)+f(x2)] = 1/2a(x1^2+x2^2) + 1/2b(x1+x2) + c
≥ a(x1+x2)^2 /4 + 1/2b(x1+x2) + c
=f[(x1+x2)/2]

2，x属于【-1,1】时，|f(x)|<=1
分别令x=1,-1,0，得到
-1 ≤ a+b+c ≤ 1
-1 ≤ a-b+c ≤ 1
-1 ≤ c ≤ 1
f(2) = 4a+2b+c = 3(a+b+c) + (a-b+c) - 3c
所以-7 ≤ f(2) ≤ 7
所以|f(2)|<7<36/5
不存在