Question

点P是圆O直径AB上的任一点，过点P的弦CD和AB相交所成的锐角45度，求证；PC^2+PD^2有定值

Answer 1

证：作OE⊥CD于E，连接OC

设⊙O半径为R，PA＞PB，OP=a

所以 PA=R+a，PB=R-a

∵⊙O中，弦AB，CD交于点P

∴PA•PB=PC•PD（相交弦定理）

∴PC•PD=(R+a)(R-a)=R²-a²

∵Rt△OPE中，∠OPE=45°

∴sin∠OPE=OE/OP=(√2)/2

∴OE=【(√2)/2】a

∵⊙O中，OE⊥CD于E

∴CE=½CD（垂径定理）

∴CD²=4CE²

∵Rt△OCE中，∠OEC=90°

∴CE²=OC²-OE²=R²-½a²

∴CD²=4R²-2a²

∴PC²+PD²

=(PC+PD)²-2•PC•PD

=CD²-2PC•PD

=4R²-2a²-2(R²-a²)

=2R²

为定值，原命题得证

【希望对你有帮助】

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