Question

若实数a b c满满足1/a+1/b+1/C=1(a+b+c),则a b c中( )

Answer 1

1/a+1/b+1/c=1/(a+b+c)
两边同时乘以(a+b+c)abc，可得：
(a+b+c)(bc+ac+ab)=abc
=> abc+a²c+a²b+b²c+abc+ab²+bc²+ac²+abc=abc
=> (a+b)ab+(a+b)c²+(a²+2ab+b²)c=0
=> (a+b)(ab+c²)+(a+b)²c=0
=> (a+b)(bc+c²+ab+ac)=0
=> (a+b)[(b+c)c+a(b+c)]=0
=> (a+b)(b+c)(c+a)=0
那么：a+b=0或b+c=0或c+a=0
考虑到a≠0，b≠0，c≠0，a+b+c≠0
所以：a+b、b+c、c+a中至少一个、至多两个等于0
亦即：三个不等于0的实数a、b、c中，至少有一对相反数(若有两对相反数，则其中有两个数相等)。

Answer 2

方程：1/a+1/b+1/c=1/（a+b+c） 两边同时乘以abc （abc不等于0）
得到：bc+ac+ab=abc/（a+b+c） 两边同时a+b+c
得到：a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2+3abc=abc
a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2+2abc=0
而a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2+2abc=(a+b)(b+c)(a+c)=0
所以：a+b,b+c,c+a中，至少有一个是0

Answer 3

1/a+1/b+1/c=1/（a+b+c）
bc+ac+ab=abc/（a+b+c）
a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2+3abc=abc
a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2+2abc
=(a+b)(b+c)(a+c)=0