Question

当n>=3，n是正整数，求证：2^n>=2(n+1)，急！

Answer 1

证明：
法1.
用二项式展开
因为2^N=(1+1)^n=C(N,0)+C(N,1)+C(N,2)+...+C(N,N-1)+C(N,N)
当N>=3,有2^N=(1+1)^N>=C(N,0)+C(N,1)+C(N,N-1)+C(N,N)
=1+N+N+1=2(N+1)命题得证

法2
利用函数单调性证明
记f(x)=2^x-2(x+1),x>=3
求导f'(x)=(ln2)2^x-2>=(ln2)2^3-2>0,x>=3
知f(x)在x>=3上单调递增
则有f(x)>=f(3)=0,整理即2^x>=2(x+1),x>=3
我们取n(>=3，n∈N+)替换x,有2^n>=2(n+1),命题得证

【数学归纳法也可证】

Answer 2

(1) 若n=3 则2³=8 ; 2(3+1)=8; 8=8; 成立
(2)设n为k时成立, 则2^k ≥2(k+1) (i)式
设n=k+1时 原式成立 , 2^(k+1) ≥2(k+1+1)
(i)式中, 左右乘2, 即:2^(k+1)≥4(k+1)
假设4(k+1)>2(k+1+1) (ii)式
4k+4>2k+4
∵k≥3
∴(ii)式的假设成立
∵ 2^(k+1)≥4(k+1) ; 4(k+1)>2(k+1+1)
∴ 2^(k+1)≥2(k+1+1)
∴当n=k+1时 原式成立
根据(1)(2) 原命题成立