Question

高一三角比问题....求助

已知 1+cosα-sinβ+sinαsinβ=0 1-cosα-cosβ+sinαcosβ=0 求sinα

已知sinα=√2 cosβ tanα=√3 cotβ -π/2<α<π/2 0<β<π 求α、β的值

最好有过程！谢谢！

Answer 1

1.
已知1+cosα-sinβ+sinαsinβ=0，则
1+cosα=(1-sinα)sinβ
(1+cosα)²=[(1-sinα)sinβ]²
1+2cosα+cos²α=(1-sinα)²*sin²β......①
同理
由已知1-cosα-cosβ+sinαcosβ=0，得
1-cosα=(1-sinα)cosβ
(1-cosα)²=[(1-sinα)cosβ]²
1-2cosα+cos²α=(1-sinα)^2*cos²β......②

①+②，得
2+2cos²α=(1-sinα)²(sin²β+cos²β)
2+2(1-sin²α)=1-2sinα+sin²α
3sin²α-2sinα-3=0
∵ -1≤sinα≤1
∴sinα=(1-√10)/3

2.
∵tanα=√3 cotβ ，
∴sinα/cosα=√3cosβ/sinβ，
∴sinαsinβ=√3cosαcosβ，
∴sin²αsin²β=3cos²αcos²β.........(1)
又∵sinα=√2cosβ，
∴sin²α=2cos²β，............(2)
∴cos²α=1-sin²α=1-2cos²β........(3)
把(2)、(3)代入(1)中
2cos²βsin²β=3(1-2cos²β)cos²β
2cos²β(1-cos²β)=3(1-2cos²β)cos²β
∵cos²β≠0
∴2(1-cos²β)=3(1-2cos²β)
cos²β=1/4
cosβ=±1/2

①当cosβ=1/2时，
sinα=√2/2
β=π/3，α=π/4
②当cosβ=-1/2时，
sinα=-√2/2
β=2π/3，α=-π/4

Answer 2

第一题大概可通过两式一加和两式一减求出

Answer 3

1+cosα-sinβ+sinαsinβ=0， 1-cosα-cosβ+sinαcosβ=0，
1+cosα=sinβ*(1-sinα)， 1-cosα=cosβ*(1-sinα)，
(1+cosα)^2+(1-cosα)^2=[(sinβ)^2+(cosβ)^2]*(1-sinα)^2
2+2(cosα)^2=1-2sinα+(sinα)^2
3(sinα)^2-2sinα-3=0
sinα=(1-√10)/3 ，或 sinα=(√10+1)/3 (舍去)

由sinα=√2 cosβ，得：
(sinα)^2=(√2 cosβ)^2=2(cosβ)^2，
1-(cosα)^2=2* [1-(sinβ)^2]，
2(sinβ)^2-(cosα)^2=1，
又sinα=√2 cosβ ， tanα=√3 cotβ，（两式相除）
得：cosα=√6/3*sinβ，
所以 2(sinβ)^2-(√6/3*sinβ )^2=1，
(sinβ)^2=3/4，
又0<β<π，
所以sinβ=√3/2，
β=π/3 ，或 β=2π/3；
所以cosα=√6/3*sinβ=√2/2，
又-π/2<α<π/2，
所以α=π/4，或 α=-π/4。