Question

高一数学向量问题，急求

已知|a|=|b|=1,且|a+b|=根号3·|a-b|求|3a-2b|
已知a=(1,2),b=(1,λ),分别确定实数λ的取值范围，使得（1）a与b夹角为直角，（2）a与b夹角为钝角（3）a与b夹角为锐角

要过程，谢谢

Answer 1

解：

第一题：

如图，OA=a，OB=b，OD=a+b，BA=a-b；

|a|=|b|=1,故四边形AOBD为菱形，且OD垂直于AB

|a+b|=根号3·|a-b|，故OF=根号3*BF

故RT三角形OFB中，角FOB=30°

故角AOB=60°

利用余弦定理

|3a-2b|=√（3*3+2*2-2*3*2*Cos角AOB）

=√（3*3+2*2-2*3*2*Cos60°）

=√（3*3+2*2-2*3*2*1/2）

=√7

第二题：

第一问

a所在的直线为y=2x，斜率为2

b与a垂直，故斜率为-1/2,b所在的直线方程为y=-x/2

故b=（1，-1/2）;λ=-1/2;

第二问

当λ<-1/2时，a与b夹角为钝角；

第三问

当λ>-1/2时，a与b夹角为锐角；

Answer 2

1、|a＋b|=√3|a－b|，所以，|a＋b|²=3|a－b|²，展开|a|²＋2a*b＋|b|²=3(|a|²－2a*b＋|b|²)，再利用|a|=|b|=1，得4a*b=1。又|3a－2b|²=9|a|²－12a*b＋4|b|²=10，所以|3a－2b|=√10。
2、①夹角为直角，则a*b=1＋2λ=0，解得λ=－1/2；②夹角为钝角，则a*b<0且a与b不平行。由a*b<0解得λ<－1/2，由a与b不平行，得λ≠2。从而夹角为钝角时，λ<－1/2(本题中，夹角为钝角则a*b<0，反之则不正确)；③夹角为锐角，则a*b>0且a、b不平行，解得λ>－1/2且λ≠2(此问同样要将夹角为0的情况舍去)。