Question

已知二次函数y=x^+2(m+1)x-m+1. (1) 随着m的变化，该二次函数图象的顶点P是否都在某条抛物线上？如果是，

参考书上第一问的答案是y=-x²+m+2
我想知道具体过程 谢谢各位
已知二次函数y=x^+2(m+1)x-m+1.
(1) 随着m的变化，该二次函数图象的顶点P是否都在某条抛物线上？如果是，请求出抛物线的函数表达式：如果不是，请说明理由。
(2) 如果直线y=x+1经过二次函数y=x^+2(m+1)x+m+1图象的顶点P，求此时m的值。

Answer 1

【1】二次函数y=x²+2(m+1)x-m+1=[x+(m+1)]²-(m²+3m).∴顶点P(-m-1,-m²-3m).令x=-m-1,y=-m²-3m.消去参数m,可得：y=-x²+x+2.∴顶点P恒在抛物线y=-x²+x+1上。【2】由上面可知-m²-3m=-m.===>m²+2m=0.===>m=0或m=-2.

Answer 2

y=x^2+2(m+1)-m+1
=(x+m+1)^2-(m+1)^2-m+1
其顶点是：
x=-(m+1)
y=-(m+1)^2-m+1
将m=-x-1代入消去m，有：
y=-x^2+x+2 ，是抛物线，即P点在抛物线上。
(2)
就是求
y=x+1与y=-x^2+x+2
的交点，联立有：-x^2+x+2=x+1
x^2=1
x=±1
这时，m=-x-1=±1-1
m1=0
m2=-2

Answer 3

（1）该二次函数图象的顶点P是在某条抛物线上，求该抛物线的函数表达式如下：

利用配方：得y=（x+m+1）^2-m^2-3m，顶点坐标是P（-m-1，-m^2-3m）．

令-m-1=x，将m=-x-1代入-m^2-3m，得-（-x-1）^2-3（-x-1）=-x^2+x+2．

即所求抛物线的函数表达式是 y=-x^2+x+2．

（2）如果顶点P（-m-1，-m^2-3m）在直线y=x+1上，则-m^2-3m=-m-1+1，即m^2=-2m，

∴m=0或m=-2．

∴当直线y=x+1经过二次函数图象的顶点P时，m的值是-2或0．

Answer 4

这道题我刚考过，给你标准答案：
解：①该二次函数图象的顶点P在某条抛物线上，则 利用配方法：得y=（x+m+1）^2-m^2-3m，顶点坐标是P（-m-1，-m^2-3m）． 令-m-1=x，将m=-x-1代入-m^2-3m，得-（-x-1）^2-3（-x-1）=-x^2+x+2． 即所求抛物线的函数表达式是 y=-x^2+x+2． ②若顶点P（-m-1，-m^2-3m）在直线y=x+1上，则-m^2-3m=-m-1+1，即m^2=-2m， ∴m=0或m=-2． 即直线y=x+1经过二次函数图象的顶点P时，m的值是-2或0．

Answer 5

阿谀奉承