Question

设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续，且f（0）=1，f（1）=0，证明：存在&属于（0，1） 使得f（&）=&的平方

Answer 1

令g(x)=f(x)-x^2则g(x)在【0,1】上连续；并且g(0)=f(0)=1;g(1)=f(1)-1=-1所以根据介值定理知道存在&使得g(&)=0也就是你要的东西。

Answer 2

存在a∈[0,1]使得f(a)∈[0,1]
a²∈[0,1]
∴存在f(a)=a²