Question

急急急，《数学分析》证明题，求大神解。给个提示也好。。

1.设f在[0,+∞)上连续，满足0<=f(x)<=x，x∈[0,+∞)，设a1>=0，an+1=f(an)，n=1,2,3.......。证明：(1){an}为收敛数列；(2)设lim{n→∞}an=t，则有f(t)=t；(3)若条件改成0<=f(x)<x，x∈(0,+∞)，则t=0。
2.（达布定理）证明：设f(x)在[a,b]上可导，f '+(a)≠f '-(b)，k介于f '+(a)和f '-(b)之间，则存在c∈[a,b]，使f '(c)=k。
3.证明：f(x)=| ln|x-1| |在x=0处不可导。
4.设f定义在R上，对于任意x1，x2∈R，f(x1+x2)=f(x1)f(x2)，若f '(0)=1，证明对于任意的x∈R，f '(x)=f(x)。
5.设f可导，且f(a)=f(b)，证明存在c∈[a,b]，使得f(a)-f(c)=c f '(c)。

Answer 1

第一题
第一问 忘了
第二问
因为an+1=f(an)
两边取极限得到 t=f(t)
第三问 忘了

第二题
用零值定理来证明达布定理
构造F(X)=f'(x)-k
由于已知条件，得到在端点处
F(a)F(b)=[f'+(a)-k][f'-(b)-k]<0 即是说，端点出的值，一个是正的，另一个是负的
由零值定理
所以在[a,b]必然有一点c
使得，F(c)=0
使得f'(c)-k=0

第三题
f(x)=
ln|x-1| x<0或者x>2
-ln|x-1| 0<x<1或1<x<2

f'(x)=
1/(x-1) x<0或者x>2
-1/(x-1) 0<x<1或1<x<2

所以在零点
左导数f'-(0)=-1
右导数f'+(0)=1
因为
零点的左导数不等于右导数
所以不可导

第四题
典型的考察导数定义的题目
f'(x)=lim{Δx趋向于0}[f(x+Δx)-f(x)]/Δx
=lim{Δx趋向于0}[f(x)f(Δx)-f(x)]/Δx f(x+Δx)=f(x)f(Δx)
=lim{Δx趋向于0}f(x)[f(Δx)-1]/Δx 求出f(0)=1
=f(x)*lim{Δx趋向于0}[f(Δx)-f(0)]/(Δx-0)
=f(x)*f'(0)
=f(x)

第五题
参见楼上的,
令F(x)=(x-a)[f(x)-f(a)]
因为F(b)=F(a)=0
所以存在c使得
F'(c)=0

得证

Answer 2

1. 用单调有界证收敛, 然后代进递推式得到(2), 由(2)再得到(3)

2. 考察g(x)=f(x)-kx的最值

3. 考察左右导数

4. 首先f(x)恒不为0, 得到f(0)=1, 然后由f在0点的可微性得到存在一个区间[-d,d]使得在这个区间上f(x)>0. 在这个区间上令g(x)=lnf(x)可得Cauchy函数方程g(x1+x2)=g(x1)+g(x2), 以及g'(0)=1, 解出g(x)=x, 所以f(x)=e^x. 最后再利用条件把解延拓到整个实轴上(取x2=d或x2=-d并用归纳法)

5. 考虑F(x)=(x-a)[f(x)-f(a)]

Answer 3